Teorema del poligono

[Marco241]

Devo dimostrare il seguente teorema:

In ogni poligono ciascun lato è minore della somma di tutti gli altri.

DIMOSTRAZIONE:

Allora ho provato a ragionare nella seguente maniera ma ho dei dubbi:

scompongo il poligono in tanti triangoli TUTTI quanti avente il vertice in comune con un punto interno del poligono e applico il seguente teorema:

in ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due lati.

Ho considerato un pentagono non regolare e l'ho nominato nella seguente maniera:

parto con la A a sinistra e scendo in basso a destra ...quindi ABCDE...Spero che riusciate a capire la figura poi...



$ AE
$ AE
$ AE - AB
$ AE-AB-EO
MA a sua volta OB...è minore di:

$ OB
in tutto scrivo:

$ AE-AB-EO
Porto EO all'ultimo membro di questa serie di disequazioni e semplifico...

in pratica ottengo:

$ AE-AB
poi:

$ -AB
sfruttando la proprietà transitiva tra la terza disequazione e la quarta...cioè mi spiego meglio:

$ OC-DC
diventa:

$ OC-DC
in definitiva diventa:

$ -AB
ossia

$ -AB
e poi:

$ 0
e finalmente:
$ AB
Ma non sono convinto...

[@melia]

Mi sono persa nella tua dimostrazione. Non avrei preso un punto interno, ma uno dei vertici del lato che voglio dimostrare essere la somma di tutti gli altri e dal vertice traccio tutte le diagonali al poligono. La dimostrazione che ho pensato è simile alla tua, ma devi stare attento, non puoi portare un addendo da un membro all'altro se la disequazione ha più di due termini, puoi solo sommare o sottrarre a tutti i termini la stessa quantità.

[Marco241]

Ciao Sara,

allora provo a rifare la dimostrazione...e ti faccio sapere

[Marco241]

Allora ho rifatto la dimostrazione e ho seguito il tuo suggerimento.

Allora prendo sempre un pentagono.Questa volta nel disegnarlo parto dall'alto e procedo in senso antiorario nel disporre le lettere...ABCDE.

E poi applico gli stessi ragionamenti di prima SENZA portare a sbalzi un termine da un membro all'altro se ci sono tre disequazioni.Adesso mi spiego meglio.

Traccio le diagonali del pentagono.

$ CE $

$ CA $

In questo modo il pentagono risulta scomposto in tre triangoli:

$ CDE $

$ CEA $

$ CAB $

Per il triangolo $ CDE $ si ha:

$ CD
invece peril triangolo $ CEA $ :

$ CE
e infine per $ CAB $ :

$ CA
Detto questo posso scrivere:

$ CD-DE
da cui deduco:

$ CD-DE
e scrivo:

$ CD-DE-AE
Ma a sua volta:

$ CA
ergo:

$ CD-DE-AE
E alla fine si ha:

$ CD-DE-AE
$ CD

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[Sk_Anonymous]

Se facesse parte del programma, si potrebbe procedere per induzione. Dato che la proprietà è già stata dimostrata per un triangolo, bisognerebbe dimostrare che vale per un poligono di $[n+1]$ lati sapendo che vale per un poligono di $[n]$ lati. Considerando il poligono di $[n+1]$ lati, basterebbe tracciare la diagonale che congiunge gli estremi non in comune di due lati consecutivi per dividere il poligono di $[n+1]$ lati in un poligono di $[n]$ lati e un triangolo, e utilizzare la suddetta proprietà valida per il poligono di $[n]$ lati e il triangolo ottenuti.

[@melia]

"Marco24":Allora ho rifatto la dimostrazione e ho seguito il tuo suggerimento.

Allora prendo sempre un pentagono.Questa volta nel disegnarlo parto dall'alto e procedo in senso antiorario nel disporre le lettere...ABCDE.

E poi applico gli stessi ragionamenti di prima SENZA portare a sbalzi un termine da un membro all'altro se ci sono tre disequazioni.Adesso mi spiego meglio.

Traccio le diagonali del pentagono.
$ CE $ e $ CA $

In questo modo il pentagono risulta scomposto in tre triangoli:
$ CDE $, $ CEA $, $ CAB $

Per il triangolo $ CDE $ si ha: $ CD invece peril triangolo $ CEA $ : $ CE
e infine per $ CAB $ : $ CA

puoi scrivere:
$ CD

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