[TdN] Equazione parametrica
$p$ è un numero primo ed entrambe le soluzioni dell’equazione $x^2 + px − 444p = 0$ sono intere. Quanto vale $p$?
Io so che: $x=(-p +- sqrt(p^2+37*3*2^4))/2$
La prima condizione che salta all'occhio è che $p^2+37*3*2^4$ deve essere un quadrato perfetto.
Così scrivo: $p^2+37*3*2^4=k^2$ Da cui ricavo:
$(k+p)(k-p) = 37*3*2^4.
Ora pongo $37*3*2^4=ab$
e ${(k+p=b), (k-p=a):}$
Ottengo che $p= (b-a)/2$
Questo passaggio è inutile ma mi serve per capire che $a$ e $b$ devono essere o entrambi pari o entrambi dispari ma non possono essere entrambi dispari perchè c'è $2^4$ che se lo porto da un fattore, l'altro diventa $37*3$ che è dispari, mentre se lo spezzo in due fattori sono entrambi pari. Quindi $a$ e $b$ sono pari.
Le possibilità di fattorizzazione sono:
$b=37*3*2^3$ e $a=2$
$b=37*3*2^2$ e $a=2^2$
$b=37*3*2$ e $a=2^3$
$b=37*2^3$ e $a=3*2$
$b=37*2^2$ e $a=3*2^2$
$b=37*2$ e $a=2^3*3$
Ora, senza che riporto l'analisi di tutti questi casi, mi viene come unica soluzione $p=107$ ma a quanto pare esiste un $p$ compreso tra $31$ e $41$ estremi esclusi.
Dove sbaglio?
Io so che: $x=(-p +- sqrt(p^2+37*3*2^4))/2$
La prima condizione che salta all'occhio è che $p^2+37*3*2^4$ deve essere un quadrato perfetto.
Così scrivo: $p^2+37*3*2^4=k^2$ Da cui ricavo:
$(k+p)(k-p) = 37*3*2^4.
Ora pongo $37*3*2^4=ab$
e ${(k+p=b), (k-p=a):}$
Ottengo che $p= (b-a)/2$
Questo passaggio è inutile ma mi serve per capire che $a$ e $b$ devono essere o entrambi pari o entrambi dispari ma non possono essere entrambi dispari perchè c'è $2^4$ che se lo porto da un fattore, l'altro diventa $37*3$ che è dispari, mentre se lo spezzo in due fattori sono entrambi pari. Quindi $a$ e $b$ sono pari.
Le possibilità di fattorizzazione sono:
$b=37*3*2^3$ e $a=2$
$b=37*3*2^2$ e $a=2^2$
$b=37*3*2$ e $a=2^3$
$b=37*2^3$ e $a=3*2$
$b=37*2^2$ e $a=3*2^2$
$b=37*2$ e $a=2^3*3$
Ora, senza che riporto l'analisi di tutti questi casi, mi viene come unica soluzione $p=107$ ma a quanto pare esiste un $p$ compreso tra $31$ e $41$ estremi esclusi.
Dove sbaglio?
Risposte
Se l'equazione è $x^2+px-444p=0$ direi che $Delta=p^2+4*444p=p^2+1776p$
Hai ragione!! Non avevo prorpio visto quella $p$ dopo il $444$ che strano! xD (Naturalmente l'ho scritto con copia e incolla non a mano).. Allora a questo punto voglio provare a farlo, non scrivete subito la soluzione.
"xXStephXx":tranquillo
non scrivete subito la soluzione.
Ah ok ora mi viene:
$p(p+37*3*2^4)$ che deve essere un quadrato perfetto.
Siccome $p$ è primo, il fattore $p+37*3*2^4=pk^2$
Da cui: $p(k+1)(k-1)= 37*3*2^4$
Ora si vede subito che gli unici primi sono $37$, $2$, $3$. In ogni caso gli altri due fattori devono avere $2$ come differenza. Quindi se prendo $p=2$ o $p=3$ si nota che non posso trovare due fattori che hanno $2$ di differenza. Quindi $p=37$...
Che bell'errore è? xD
Grazie per averlo trovato..
$p(p+37*3*2^4)$ che deve essere un quadrato perfetto.
Siccome $p$ è primo, il fattore $p+37*3*2^4=pk^2$
Da cui: $p(k+1)(k-1)= 37*3*2^4$
Ora si vede subito che gli unici primi sono $37$, $2$, $3$. In ogni caso gli altri due fattori devono avere $2$ come differenza. Quindi se prendo $p=2$ o $p=3$ si nota che non posso trovare due fattori che hanno $2$ di differenza. Quindi $p=37$...
Che bell'errore è? xD
Grazie per averlo trovato..
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