Taylor - Calcolo dell'errore...
Ciao. Nel mio corso solo 1 persona su 10 ha compreso la formula di Taylor alla perfezione... io ovviamente sono tra i 9... Mi sapreste spiegare in modo molto elementare (altrimenti difficilmente lo capirei) come Taylor è arrivato a definire il polinomio omonimo che serve per approssimare una data funzione?
Ho studiato che il polinomio di Taylor è una diretta conseguenza del Teorema di Lagrange (detto anche del valor medio).
Il Teorema di Lagrange si può riassumere in poche parole:
Data una funzione
In parole più semplici, data una funzione continua e derivabile in un intervallo
Ora, dal teorema di Lagrange, come si fa a ricavare il polinomio di Taylor? E l'approssimazione della funzione con un errore minore ad un dato ordine di grandezza (ad esempio
Grazie in anticipo.
EDIT: Faccio alcuni esempi di esercizi che dovrei saper risolvere (dovrei... =) ).
1) Calcolare in modo approssimativo
->
->
2) Sviluppare la funzione
La formula la conosco a memoria... ma (i) non sò come è stata ricavata... (ii) non sò applicarla.
Ho studiato che il polinomio di Taylor è una diretta conseguenza del Teorema di Lagrange (detto anche del valor medio).
Il Teorema di Lagrange si può riassumere in poche parole:
Data una funzione
[math]f(x)[/math]
continua in un intervallo [math]\left[a,b\right][/math]
e derivabile in [math](a,b)[/math]
, esiste sempre un punto interno [math]\xi[/math]
tale che:[math]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)[/math]
In parole più semplici, data una funzione continua e derivabile in un intervallo
[math]\left[a,b\right][/math]
, se tracciamo la secante della funzione agli estremi dell'intervallo e se trasliamo questa secante, troveremo che quest'ultima sarà la tangente della funzione in un punto [math]\xi[/math]
.Ora, dal teorema di Lagrange, come si fa a ricavare il polinomio di Taylor? E l'approssimazione della funzione con un errore minore ad un dato ordine di grandezza (ad esempio
[math]10^{-3}[/math]
)... come si ricava?Grazie in anticipo.
EDIT: Faccio alcuni esempi di esercizi che dovrei saper risolvere (dovrei... =) ).
1) Calcolare in modo approssimativo
->
[math]\cos \frac{8}{15}\pi[/math]
(con un errore [math]\leq 10^{-4}[/math]
)->
[math]\ln 1,02[/math]
(con un errore [math]\leq 10^{-5}[/math]
)2) Sviluppare la funzione
[math]\ln x[/math]
secondo le potenze di [math](x-1)[/math]
con [math]n=3[/math]
La formula la conosco a memoria... ma (i) non sò come è stata ricavata... (ii) non sò applicarla.
Risposte
la derivata non la controllo, ma lo sviluppo è corretto come puoi vedere qui
http://corsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/17ACIP/pdf/SVILUPPI.pdf
non puoi sostituire 65, x deve essere vicina a 0.
suggerimento: 65 = 1 + 64. usa i raccoglimenti dentro la radice cercando di ottenere l'argomento nella forma 1+x con x vicino a 0
http://corsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/17ACIP/pdf/SVILUPPI.pdf
non puoi sostituire 65, x deve essere vicina a 0.
suggerimento: 65 = 1 + 64. usa i raccoglimenti dentro la radice cercando di ottenere l'argomento nella forma 1+x con x vicino a 0
WoW. Bello quello schema! Grazie!
Ma scusa... tu non mi hai detto di approssimare
Il suggerimento veramente mi dice poco... :asd
Ma scusa... tu non mi hai detto di approssimare
[math]\sqrt{65}[/math]
?Il suggerimento veramente mi dice poco... :asd
sì, leggi sopra che ho scritto un suggerimento
ps: google fa miracoli
pps:
raccogli il 64..
ps: google fa miracoli
pps:
[math] \sqrt{1+64} [/math]
raccogli il 64..
Ho letto il suggerimento ma ... ehm ehm... niente da fare.
P.S: Io ho cercato su Google "Sviluppo radici"... e mi è venuto fuori un sito sul giardinaggio! :lol
P.P.S: Così?
P.S: Io ho cercato su Google "Sviluppo radici"... e mi è venuto fuori un sito sul giardinaggio! :lol
P.P.S: Così?
[math]\sqrt{64(\frac{1}{64}+1)}[/math]
E che me ne faccio?
e se ci scrivevi mclaurin davanti, trovavi le piante omonime in asta su ebay
porta fuori dalla radice il 64
porta fuori dalla radice il 64
[math]8\sqrt{\frac{1}{64}+1}[/math]
Quindi la mia x è
[math]\frac{1}{64}[/math]
???E di quell'8 che me ne faccio? Svanisce?
l'8 non svanisce: calcoli la radice con gli sviluppi e poi la moltiplichi per 8
In effetti risulta 8,062!
Devo perciò (utilizzando trucchi del genere) porre sempre la mia X molto vicina allo 0...?
Un'ultima domanda. Io mi sono fermato alla derivata terza... come faccio a sapere l'ordine di grandezza dell'errore di approssimazione?
Devo perciò (utilizzando trucchi del genere) porre sempre la mia X molto vicina allo 0...?
Un'ultima domanda. Io mi sono fermato alla derivata terza... come faccio a sapere l'ordine di grandezza dell'errore di approssimazione?
quando hai voglia prova con 80.
la x deve essere vicina a 0, perchè hai derivato in 0 (più è vicina a 0, migliore è l'approssimazione a parità del grado del polinomio). tra l'altro se guardi le tabelle, a destra è scritto per x che tende a 0.
con lagrange puoi trovare l'errore.
la x deve essere vicina a 0, perchè hai derivato in 0 (più è vicina a 0, migliore è l'approssimazione a parità del grado del polinomio). tra l'altro se guardi le tabelle, a destra è scritto per x che tende a 0.
con lagrange puoi trovare l'errore.
Ahah, vuoi fregarmi! Hai messo 80 non a caso... 79+1... e 79 chissà come mai è un numero primo!!!
no, il trucco è servirsi del quadrato più vicino, non è un procedimento meccanico (sennò mica puoi trovare tutte le radici)
Sì, alla fine ci sono arrivato. In pratica fai la differenza tra il valore della radice conosciuta e la radice che devi calcolare.
Provo...
Corretto così?
Come si trova l'errore con Lagrange e Peano? Mi potresti gentilmente fare un esempio per l'esercizio precedente, quello dell'approssimazione di
Adesso vado a letto. Buona notte!
Provo...
[math]\sqrt{64}+\frac{1}{2\sqrt{64}}(79-64)-\frac{1}{8\sqrt{64}}(79-64)^2[/math]
Corretto così?
Come si trova l'errore con Lagrange e Peano? Mi potresti gentilmente fare un esempio per l'esercizio precedente, quello dell'approssimazione di
[math]\sqrt{65}[/math]
? Ovviamente se hai tempo e voglia... ti ho già fatto perdere troppo tempo con le mie domande... :dozingoffAdesso vado a letto. Buona notte!
no: 80 = 81-1
raccogli 81 e lo porti fuori dalla radice.
se avevi 79 usavi sempre 81 come quadrato più vicino: 79 = 81-2.. e così via.
per trovare l'errore in quella precedente fai così:
(ti ho scritto la derivata terza nelle parentesi più grandi)
vedi che per y compreso tra 0 e 1/64, il valore di (1+y)^(-5/2) varia tra un numero abbastanza piccolo e 1, quindi possiamo dire 0 < (1+y)^(-5/2) < 1.
allora l'errore E calcolato secondo lagrange è tale che 0 < E < 1/(16*64^3).
allora ottieni 8,062 < rad(65) < 8,062 + 1/(16*64^3)
edit
se non ricordo male, il resto di peano era semplicemente un o-piccolo. non puoi usarlo per determinare analiticamente l'errore, per la definizione di o-piccolo
raccogli 81 e lo porti fuori dalla radice.
se avevi 79 usavi sempre 81 come quadrato più vicino: 79 = 81-2.. e così via.
per trovare l'errore in quella precedente fai così:
[math] \frac{f'''(y)x^3}{3!} = \frac{1}{64^3} \, \frac{1}{3!} \, \left( \frac 38 (1+y)^{-5/2} \right) [/math]
(ti ho scritto la derivata terza nelle parentesi più grandi)
vedi che per y compreso tra 0 e 1/64, il valore di (1+y)^(-5/2) varia tra un numero abbastanza piccolo e 1, quindi possiamo dire 0 < (1+y)^(-5/2) < 1.
allora l'errore E calcolato secondo lagrange è tale che 0 < E < 1/(16*64^3).
allora ottieni 8,062 < rad(65) < 8,062 + 1/(16*64^3)
edit
se non ricordo male, il resto di peano era semplicemente un o-piccolo. non puoi usarlo per determinare analiticamente l'errore, per la definizione di o-piccolo
Quindi la mia X è
Per l'errore col metodo di Lagrange, la formula che ho trovato è la seguente:
Per trovare l'errore dell'esercizio precedente dovrei quindi calcolare la derivata IV dato che io nello sviluppo sono arrivato a calcolare la derivata III? Non ho capito cosa hai fatto tu...
P.S: Non ho mai studiato tanta matematica in vita mia! Anche la domenica adesso!
[math]-\frac{1}{81}[/math]
? Poi moltiplicherò il risultato finale per 9, giusto?Per l'errore col metodo di Lagrange, la formula che ho trovato è la seguente:
[math]\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}[/math]
Per trovare l'errore dell'esercizio precedente dovrei quindi calcolare la derivata IV dato che io nello sviluppo sono arrivato a calcolare la derivata III? Non ho capito cosa hai fatto tu...
P.S: Non ho mai studiato tanta matematica in vita mia! Anche la domenica adesso!
sì, mi pareva ti fossi fermato alla derivata seconda e allora ho calcolato l'errore con la derivata terza.. se ho visto male fallo con la derivata 4^, ma è un casino se vai troppo avanti.
per l'altro esercizio la x è -1/81, esattamente. poi trovi lo sviluppo di rad(1- 1/81) e lo moltiplichi per 9
per l'altro esercizio la x è -1/81, esattamente. poi trovi lo sviluppo di rad(1- 1/81) e lo moltiplichi per 9
xico87:
sì, mi pareva...
Pigro! :pp
Tu hai scritto:
[math] \frac{f'''(y)x^3}{3!} = \frac{1}{64^3} \, \frac{1}{3!} \, \left( \frac 38 (1+y)^{-5/2} \right) [/math]
Non capisco però da dove hai ricavato:
[math]\left( \frac 38 (1+y)^{-5/2} \right)[/math]
Non dovrebbe essere
[math](x-x_0)^3[/math]
?
quello l'ho ricavato derivando f(y) 3 volte, quindi derivi in x e poi cambi variabile (ti avevo scritto che la derivata terza era nelle parentesi grandi).
il termine (x - x0)^3 è x^3 = 1/64^3 (per mclaurin x0 = 0)
comunque tu avevi scritto:
da cui deduco ti sia fermato alla derivata seconda
il termine (x - x0)^3 è x^3 = 1/64^3 (per mclaurin x0 = 0)
comunque tu avevi scritto:
[math]p(x) = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8}[/math]
da cui deduco ti sia fermato alla derivata seconda
Dai che scherzavo! :asd
Quindi devo cambiar variabile... uhm...
Quindi devo cambiar variabile... uhm...
dal teorema di lagramge (o del valor medio), ricorda che y in realtà non è una variabile, ma un valore compreso tra x e x0 = 0. tu devi semplicemente derivare la funzione quante volte ti pare, e poi calcolare la derivata k-esima nel punto y che varia tra x e x0. se vuoi è una generalizzazione del teorema del valor medio (nel senso che calcoli una derivata superiore alla prima).
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