Tavolo rotondo - SNS 1961-1962 problema 3
"In quanti modi 5 uomini e 5 donne possono disporsi intorno a un tavolo rotondo in modo che uomini e donne si trovino in posti alternati? Due disposizioni debbono considerarsi uguali quando ciascuno ha a fianco le stesse persone."
Immagino di sistemare una persona (indifferentemente scelta), che chiamo A. Ora per la persona da porre accanto ad A posso scegliere in 5 modi fra le 5 persone di sesso opposto ad A. Poi per la persona accanto a questa posso scegliere fra le 4 persone di sesso uguale ad A rimaste, e così via..
Otterrò $5*(4!)^2$.
Però il testo mi dice che non conta se ogni persona ha accanto le stesse persone nella destra e nella sinistra, perciò si considerano indistinguibili due sistemazioni che siano l'una l'immagine speculare dell'altra rispetto al diametro del tavolo che passa per la posizione occupata dalla persona fatta sedere per prima. Perciò il numero finale cercato è $5*(4!)^2/2$.
E' giusto il mio ragionamento?
Grazie mille dell'aiuto.
Immagino di sistemare una persona (indifferentemente scelta), che chiamo A. Ora per la persona da porre accanto ad A posso scegliere in 5 modi fra le 5 persone di sesso opposto ad A. Poi per la persona accanto a questa posso scegliere fra le 4 persone di sesso uguale ad A rimaste, e così via..
Otterrò $5*(4!)^2$.
Però il testo mi dice che non conta se ogni persona ha accanto le stesse persone nella destra e nella sinistra, perciò si considerano indistinguibili due sistemazioni che siano l'una l'immagine speculare dell'altra rispetto al diametro del tavolo che passa per la posizione occupata dalla persona fatta sedere per prima. Perciò il numero finale cercato è $5*(4!)^2/2$.
E' giusto il mio ragionamento?
Grazie mille dell'aiuto.
Risposte
Il tavolo si potrà disporre in soli due modi dato che $5/2=2$ però ogni volta si potranno disporre in modi diversi fino a combinazioni $10/2=5^2=25$
Quindi si potranno disporre soltanto in 2 modi, in combinazioni 25 volte differenti tra loro.
Spero di non essermi sbagliato.
Quindi si potranno disporre soltanto in 2 modi, in combinazioni 25 volte differenti tra loro.
Spero di non essermi sbagliato.
@elios: Mi sa che devi togliere qualche altra disposizione. Precisamente, data una disposizione, si può effettuare una rotazione chiedendo ad ogni commensale di passare alla sedia alla propria destra. Questo può essere fatto 9 volte prima di tornare alla configurazione iniziale: siccome ogni configurazione così ottenuta è indistinguibile da quella originaria, direi che devi aggiungere un "diviso 9" al tuo risultato.
"dissonance":
@elios: Mi sa che devi togliere qualche altra disposizione. Precisamente, data una disposizione, si può effettuare una rotazione chiedendo ad ogni commensale di passare alla sedia alla propria destra. Questo può essere fatto 9 volte prima di tornare alla configurazione iniziale: siccome ogni configurazione così ottenuta è indistinguibile da quella originaria, direi che devi aggiungere un "diviso 9" al tuo risultato.
Io credevo di aver già considerato il fatto che due sistemazioni che differiscono per rotazione sono indistinguibili nel momento in cui ho scelto la prima persona da posizionare..
Hai ragione, hai detto "scelgo la prima persona", non hai fissato il posto che questa deve occupare, il che è come non distinguere le rotazioni del tavolo.
Io per la verità ho fatto il conto autonomamente ed ho ottenuto il risultato $3!* 5!$. Il ragionamento che ho seguito:
Cominciamo a considerare il numero totale di disposizioni, distinguendole tutte. Questo numero è $5!*5!$. Dobbiamo poi identificare ogni coppia di disposizioni in cui una possa essere ottenuta dall'altra per una rotazione, una riflessione, o una composizione delle due trasformazioni del tavolo. Queste trasformazioni sono in tutto $20$, il risultato finale è quindi $\frac{5!*5!}{20}=5!*3!$.
Almeno uno tra noi due sta sbagliando e potrei benissimo essere io, il calcolo combinatorio non è mai stato il mio forte. Vediamo se qualche altro utente ci dice la sua.
Io per la verità ho fatto il conto autonomamente ed ho ottenuto il risultato $3!* 5!$. Il ragionamento che ho seguito:
Cominciamo a considerare il numero totale di disposizioni, distinguendole tutte. Questo numero è $5!*5!$. Dobbiamo poi identificare ogni coppia di disposizioni in cui una possa essere ottenuta dall'altra per una rotazione, una riflessione, o una composizione delle due trasformazioni del tavolo. Queste trasformazioni sono in tutto $20$, il risultato finale è quindi $\frac{5!*5!}{20}=5!*3!$.
Almeno uno tra noi due sta sbagliando e potrei benissimo essere io, il calcolo combinatorio non è mai stato il mio forte. Vediamo se qualche altro utente ci dice la sua.
per me non è chiarissimo il problema, intervengo ora perché ho ottenuto entrambi i risultati (il primo di elios e l'ultimo di dissonance) attraverso due ragionamenti diversi, perché non mi sono chiare le "classi di disposizione":
io vi posso dire che il totale delle permutazioni distinte che verificano i requisiti, considerando però distinti i singoli posti, è $10*4!*5!$, cioè il doppio di $5!*5!$.
se dividiamo tale numero per $20$, ritroviamo il risultato di elios.
in realtà io ero d'accordo con elios nel calcolo preliminare, cioè senza contare $10$ posizioni iniziali, nel $5*(4!)^2$, ma non ero molto convinta se andasse diviso per $2$ come aveva fatto elios (infatti l'unico "diviso 2" che mi veniva in mente era con una simmetria, ma ogni uomo aveva di fronte una donna, e la suddivisione tra i 5 posti attribuiti agli uomini e i 5 posti attribuiti alle donne poteva essere prevista nel calcolo iniziale) o addirittura per $4$ (con la stessa formula scritta da dissonance). io comunque immagino debba essere considerata una simmetria (anzi 5 simmetrie) rispetto all'asse uomo-donna opposti che però non significa dividere per $5$ ma sempre per $2$, perché evidentemente tutte le permutazioni con un asse fisso sono a due a due "equivalenti".
questo mi riporta alla formula di elios, e mi conforta il fatto che dissonance divida per $20$ un numero sbagliato, ma otterrebbe lo stesso risultato di elios se dividesse per $20$ il numero suggerito da me ($10*4!*5!$).
io sono però ancora perplessa: chi ci dice che dividendo per due nel senso che ho detto io non incontriamo più permutazioni con le stesse coppie uomo-donna opposte "ripetute"? nessuno, anzi sicuramente tra tutte le permutazioni ci sono.
come si può trovare che è $20$ il numero delle trasformazioni di cui si parla nel testo?
io vi posso dire che il totale delle permutazioni distinte che verificano i requisiti, considerando però distinti i singoli posti, è $10*4!*5!$, cioè il doppio di $5!*5!$.
se dividiamo tale numero per $20$, ritroviamo il risultato di elios.
in realtà io ero d'accordo con elios nel calcolo preliminare, cioè senza contare $10$ posizioni iniziali, nel $5*(4!)^2$, ma non ero molto convinta se andasse diviso per $2$ come aveva fatto elios (infatti l'unico "diviso 2" che mi veniva in mente era con una simmetria, ma ogni uomo aveva di fronte una donna, e la suddivisione tra i 5 posti attribuiti agli uomini e i 5 posti attribuiti alle donne poteva essere prevista nel calcolo iniziale) o addirittura per $4$ (con la stessa formula scritta da dissonance). io comunque immagino debba essere considerata una simmetria (anzi 5 simmetrie) rispetto all'asse uomo-donna opposti che però non significa dividere per $5$ ma sempre per $2$, perché evidentemente tutte le permutazioni con un asse fisso sono a due a due "equivalenti".
questo mi riporta alla formula di elios, e mi conforta il fatto che dissonance divida per $20$ un numero sbagliato, ma otterrebbe lo stesso risultato di elios se dividesse per $20$ il numero suggerito da me ($10*4!*5!$).
io sono però ancora perplessa: chi ci dice che dividendo per due nel senso che ho detto io non incontriamo più permutazioni con le stesse coppie uomo-donna opposte "ripetute"? nessuno, anzi sicuramente tra tutte le permutazioni ci sono.
come si può trovare che è $20$ il numero delle trasformazioni di cui si parla nel testo?
Ciao adaBTTLS!!! Finalmente ci incrociamo di nuovo in una bella discussione! 
Allora, il fatto che le trasformazioni del tavolo siano proprio 20 l'ho ottenuto "barando", perché lo sapevo già: http://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_diedrale
come spiegato in questa pagina, ogni simmetria di un poligono con 10 lati si ottiene componendo in modo opportuno una rotazione (e ce ne sono 10, contando anche quella banale) e una riflessione attorno ad un asse di simmetria fissato una volta per tutte (e sono 2 contando anche quella banale). Totale: 20 simmetrie, però c'è da dire che una di queste è l'identità, ottenuta componendo la rotazione banale con la riflessione banale.
Allora, il fatto che le trasformazioni del tavolo siano proprio 20 l'ho ottenuto "barando", perché lo sapevo già: http://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_diedrale
come spiegato in questa pagina, ogni simmetria di un poligono con 10 lati si ottiene componendo in modo opportuno una rotazione (e ce ne sono 10, contando anche quella banale) e una riflessione attorno ad un asse di simmetria fissato una volta per tutte (e sono 2 contando anche quella banale). Totale: 20 simmetrie, però c'è da dire che una di queste è l'identità, ottenuta componendo la rotazione banale con la riflessione banale.
ciao dissonance!
certo che conta quella banale: altrimenti è come se tra tutte le permutazioni trascureresti la 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
in realtà 20 mi convince abbastanza, ma partendo dal totale di cui parlavo io, cioè:
un uomo sceglie indifferentemente un posto tra $10$, gli altri 4 uomini possono scegliere a quel punto solo tra $4$ posti in $4!$ modi, e le 5 donne nei rimanenti posti in $5!$ modi. dividendo per il numero $20$ delle trasformazioni si ottiene lo stesso risultato ottenuto da elios:
$(10*4!*5!)/20=(2*5!*5!)/20=(5!)^2/10" oppure "=(4!*5!)/2=((4!)^2*5)/2$
a presto. ciao.
certo che conta quella banale: altrimenti è come se tra tutte le permutazioni trascureresti la 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
in realtà 20 mi convince abbastanza, ma partendo dal totale di cui parlavo io, cioè:
un uomo sceglie indifferentemente un posto tra $10$, gli altri 4 uomini possono scegliere a quel punto solo tra $4$ posti in $4!$ modi, e le 5 donne nei rimanenti posti in $5!$ modi. dividendo per il numero $20$ delle trasformazioni si ottiene lo stesso risultato ottenuto da elios:
$(10*4!*5!)/20=(2*5!*5!)/20=(5!)^2/10" oppure "=(4!*5!)/2=((4!)^2*5)/2$
a presto. ciao.
Provo a fare l'arbitro 
Mi apre che ada dica che questo numero va moltiplicato per $2$. In effetti mi pare che lei abbia ragione dicendo che, "al primo colpo"
hai 10 possibilità.
"dissonance":
... Il ragionamento che ho seguito:
Cominciamo a considerare il numero totale di disposizioni, distinguendole tutte. Questo numero è $5!*5!$.
Mi apre che ada dica che questo numero va moltiplicato per $2$. In effetti mi pare che lei abbia ragione dicendo che, "al primo colpo"
hai 10 possibilità.
grazie, ViciousGoblin, ma sulla parte più interessante e su cui forse un tuo parere potrebbe essere illuminante che cosa dici?
"adaBTTLS":
grazie, ViciousGoblin, ma sulla parte più interessante e su cui forse un tuo parere potrebbe essere illuminante che cosa dici?
Come ho detto prima mi pare che tu abbia ragione. Io ho letto i vostri messaggi quindi sono un po' influenzato. Il ragionamento che mi piace di più è quello di dissonance, modulo il fatto
che in effetti il numero totale di disposizioni dovrebbe essere $10\cdot 4! \cdot 5!$ (io per convincermene numererei i posti e direi: al posto 1 ho dieci possibilità, al posto 2 ne ho cinque, al posto 3 ne ho quattro al posto 4 ne ho quattro e così via). Direi che è anche chiaro che le trasformazioni che mantengono l'ordine dei posti sono 20 e quindi il risultato dovrebbe essere $2\cdot3!\cdot 5!$. Rileggendo il post di elios mi pare comunque che anche il suo ragionamento fili.
"ViciousGoblin":E si, mi sono convinto anche io. Grazie per avermi indorato la pillola, VG, la verità è che in questo topic non ne ho azzeccata una!!!
Il ragionamento che mi piace di più è quello di dissonance, modulo il fatto
che in effetti il numero totale di disposizioni dovrebbe essere $10\cdot 4! \cdot 5!$ (io per convincermene numererei i posti e direi: al posto 1 ho dieci possibilità, al posto 2 ne ho cinque, al posto 3 ne ho quattro al posto 4 ne ho quattro e così via).
Grazie mille! Quindi il mio risultato dovrebbe essere corretto, però è estremamente utile seguire altri ragionamenti per il calcolo combinatorio.. Grazie ancora tante!
prego!
cavolo ragazzi! mi stupisce questo vostro ragionamento el calcolo combinatorio..ho inteso le permutazioni n! ma il 20 è dato dalle combinazioni uguali??? e come siete arrivati alla riflessione e alla rotazione??(cioè forse la rotazione l'ho capita..ma la riflessione ...)
Che bella discussione! Mi ci metto anch'io, che ho provato con un ragionamento banalissimo, senza permutazioni, trasformazioni e simili, ma solo rispondendo alle seguenti domande:
Fissata la posizione di un uomo, in quanti modi posso scegliere le sue vicine?
Fissate queste vicine, in quanti modi posso scegliere l'uomo a destra di quella a destra e poi l'uomo a sinistra di quella a sinistra?
Ho poi fissato questi vicini ed ho continuato così fino ad esaurimento delle persone; il risultato finale è quello di molti, cioè $1/2 5!4!$, il doppio di quello inizialmente dato da dissonance.
Fissata la posizione di un uomo, in quanti modi posso scegliere le sue vicine?
Fissate queste vicine, in quanti modi posso scegliere l'uomo a destra di quella a destra e poi l'uomo a sinistra di quella a sinistra?
Ho poi fissato questi vicini ed ho continuato così fino ad esaurimento delle persone; il risultato finale è quello di molti, cioè $1/2 5!4!$, il doppio di quello inizialmente dato da dissonance.
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