Tangenti ad una curva da un punto esterno
Buonasera. È il primo argomento che scrivo in questo forum, quindi spero di non sbagliare nulla in materia di scritture di formule ed equazioni. C'è un particolare esercizio di matematica che, sinceramente, mi sta mettendo un po' in crisi.
"Verifica che due tra le tangenti condotte alla curva di equazione $f(x)=1/4x^4 - x^2 +1$ dal punto $(0; 5/4)$ sono perpendicolari tra loro."
Io ho seguito questo ragionamento: il punto dato è esterno alla curva, quindi se io prendo una retta generica $y=mx+q$ e la faccio passare per quel punto, otterrò $q=5/4$. Per essere perpendicolari, una delle tangenti dovrà avere coefficiente angolare $m2$ (che poi sarebbe la derivata di f(x) ) pari all'antireciproco di $m1$. Ho scritto quindi la generica $y=mx+5/4$ e l'ho messa a sistema con la funzione della curva, per poi andare a porre il delta uguale a zero e da lì procedere. Quando però ho sviluppato il sistema ho ottenuto questo:
$1/4x^4-x^2+1=mx+ 5/4$
$x^4-4x^2+4=4mx+5$
$x^4-4x^2-4mx +1=0$
Come risolvo questa equazione? (Spero che il mio ragionamento sia giusto)
"Verifica che due tra le tangenti condotte alla curva di equazione $f(x)=1/4x^4 - x^2 +1$ dal punto $(0; 5/4)$ sono perpendicolari tra loro."
Io ho seguito questo ragionamento: il punto dato è esterno alla curva, quindi se io prendo una retta generica $y=mx+q$ e la faccio passare per quel punto, otterrò $q=5/4$. Per essere perpendicolari, una delle tangenti dovrà avere coefficiente angolare $m2$ (che poi sarebbe la derivata di f(x) ) pari all'antireciproco di $m1$. Ho scritto quindi la generica $y=mx+5/4$ e l'ho messa a sistema con la funzione della curva, per poi andare a porre il delta uguale a zero e da lì procedere. Quando però ho sviluppato il sistema ho ottenuto questo:
$1/4x^4-x^2+1=mx+ 5/4$
$x^4-4x^2+4=4mx+5$
$x^4-4x^2-4mx +1=0$
Come risolvo questa equazione? (Spero che il mio ragionamento sia giusto)
Risposte
Ciao, ti presento una dimostrazione più analitica che potresti trovare interessante:
La funzione in questione è pari. Come saprai ci basta ora tenere conto di ciò che succede sul semipiano a destra delle y, tutto sarà poi simmetrizzato a sinistra. Considerando ciò ed il fatto che il punto $ (0,5/4) $ cade proprio sulle y, se le due rette saranno perpendicolari allora necessariamente formeranno con l'asse delle y un angolo di $ 45° $. L'equazione della retta che soddisfa queste condizioni è $ y=-x+5/4 $ e la sua simmetrica sarà $ y=x+5/4 $. Per concludere la dimostrazione ti basta provare che una delle due rette è tangente alla funzione.
La funzione in questione è pari. Come saprai ci basta ora tenere conto di ciò che succede sul semipiano a destra delle y, tutto sarà poi simmetrizzato a sinistra. Considerando ciò ed il fatto che il punto $ (0,5/4) $ cade proprio sulle y, se le due rette saranno perpendicolari allora necessariamente formeranno con l'asse delle y un angolo di $ 45° $. L'equazione della retta che soddisfa queste condizioni è $ y=-x+5/4 $ e la sua simmetrica sarà $ y=x+5/4 $. Per concludere la dimostrazione ti basta provare che una delle due rette è tangente alla funzione.
Se hai citato le derivate presumo che tu le conosca, quindi, detto $x_0$ un punto della curva consideriamo il fascio di rette tangenti ad essa:
$y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0$ e imponiamo il passaggio per $(0,5/4)$ :
$5/4=f'(x_0)(0-x_0)+y_0$
Per comodità pongo $x_0=x$ e sapendo che $y_0=1/4x^4-x^2+1$ e $f'(x)=x^3-2x$ si ha:
$5/4=-x^4+2x^2+1/4x^4-x^2+1$
$3/4x^4-x^2+1/4=0$
$3x^4-4x^2+1=0$
$x^4-4/3x^2+1/3=0$
$(x^2-1/3)(x^2-1)=0$
$x=+-1$ soddisfano l'equazione e risulta $f'(1)=-1/(f'(-1)$
$y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0$ e imponiamo il passaggio per $(0,5/4)$ :
$5/4=f'(x_0)(0-x_0)+y_0$
Per comodità pongo $x_0=x$ e sapendo che $y_0=1/4x^4-x^2+1$ e $f'(x)=x^3-2x$ si ha:
$5/4=-x^4+2x^2+1/4x^4-x^2+1$
$3/4x^4-x^2+1/4=0$
$3x^4-4x^2+1=0$
$x^4-4/3x^2+1/3=0$
$(x^2-1/3)(x^2-1)=0$
$x=+-1$ soddisfano l'equazione e risulta $f'(1)=-1/(f'(-1)$
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