Tangenti a una circonferenza
N.B.: devo risolvere il problema usando le derivate.
Trovare le equazioni delle tangenti alla circonferenza di equazione $x^2+y^2-8y=0$ nei suoi punti di ascissa $x=2sqrt(3)$.
I punti di tangenza sono quindi $(2sqrt(3);2)$ e $(2sqrt(3);6)$.
Ho ragionato così: la circonferenza si può scomporre in due semicirconferenze, di equazioni $x=+-sqrt(8y-y^2)$; però per poterle trattare come funzioni bisogna scambiare la x e y, ottenendo $y=+-sqrt(8x-x^2)$. Ci interessa solo la semicirconferenza positiva per cui dobbiamo derivare $y=sqrt(8x-x^2)$ e, avendo scambiato x e y, dobbiamo trovare quanto vale la derivata in $x=2$ e $x=6$. I valori sono $1/sqrt(3)$ e $-1/sqrt(3)$; ma a noi interessano le tangenti alla circonferenza di partenza, quindi dobbiamo considerare il reciproco di questi valori ($sqrt(3)$ e $-sqrt(3)$); si trova quindi che le equazioni delle tangenti sono $y=-sqrt(3)x+12$ e $y=sqrt(3)x-4$.
Con i risultati mi trovo, vorrei sapere se il ragionamento è corretto e soprattutto se c'è un metodo più rapido per risolvere problemi del genere...grazie a chi mi risponderà
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Trovare le equazioni delle tangenti alla circonferenza di equazione $x^2+y^2-8y=0$ nei suoi punti di ascissa $x=2sqrt(3)$.
I punti di tangenza sono quindi $(2sqrt(3);2)$ e $(2sqrt(3);6)$.
Ho ragionato così: la circonferenza si può scomporre in due semicirconferenze, di equazioni $x=+-sqrt(8y-y^2)$; però per poterle trattare come funzioni bisogna scambiare la x e y, ottenendo $y=+-sqrt(8x-x^2)$. Ci interessa solo la semicirconferenza positiva per cui dobbiamo derivare $y=sqrt(8x-x^2)$ e, avendo scambiato x e y, dobbiamo trovare quanto vale la derivata in $x=2$ e $x=6$. I valori sono $1/sqrt(3)$ e $-1/sqrt(3)$; ma a noi interessano le tangenti alla circonferenza di partenza, quindi dobbiamo considerare il reciproco di questi valori ($sqrt(3)$ e $-sqrt(3)$); si trova quindi che le equazioni delle tangenti sono $y=-sqrt(3)x+12$ e $y=sqrt(3)x-4$.
Con i risultati mi trovo, vorrei sapere se il ragionamento è corretto e soprattutto se c'è un metodo più rapido per risolvere problemi del genere...grazie a chi mi risponderà
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Risposte
Il ragionmento è corretto. Io avrei esplicitato direttamente la y
$y=(4+-sqrt(16-x^2))
Come avrai potuto notare con la circonferenza usare le derivate per calcolare le tangenti non è la via più breve, conviene la perpendicolarità con la retta per il punto di tangenza e il centro, oppure imporre che la distanza tra la retta e il centro sia uguale al raggio.
$y=(4+-sqrt(16-x^2))
Come avrai potuto notare con la circonferenza usare le derivate per calcolare le tangenti non è la via più breve, conviene la perpendicolarità con la retta per il punto di tangenza e il centro, oppure imporre che la distanza tra la retta e il centro sia uguale al raggio.
Come fai a esplicitare direttamente la y? 
$x=+-\sqrt{8y-y^{2}}=>x^{2}=8y-y^{2}=>y^{2}-8y+x^{2}=0=>y=frac{8+-\sqrt{64-4x^{2}}}{2}=4+-\sqrt{16-x^{2}}$.
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