Tangente comune a due parabole
Non so risolvere il seguente problema
Date le due parabole x=y^2; y=(1/2)(x^2)-(1/2)x+1 tangenti nel punto (1,1)
determinare l'ulteriore tangente comune alle due parabole ed i punti di contatto.
Risposta (16x+8y+1=0; (-3/2;23/8); (1/16;-1/4))
Ho trovato che la tangente comune nel punto (1,1) è y-1=1/2(x-1), ma poi non so continuare.
Grazie Mille.
Date le due parabole x=y^2; y=(1/2)(x^2)-(1/2)x+1 tangenti nel punto (1,1)
determinare l'ulteriore tangente comune alle due parabole ed i punti di contatto.
Risposta (16x+8y+1=0; (-3/2;23/8); (1/16;-1/4))
Ho trovato che la tangente comune nel punto (1,1) è y-1=1/2(x-1), ma poi non so continuare.
Grazie Mille.
Risposte
"filos":
Ho trovato che la tangente comune nel punto (1,1) è y-1=1/2(x-1), ma poi non so continuare.
io intanto andrei rozzamente col metodo generico...
cioe' sistema tra le condizioni di tangenza (delta=0) per le 2 parabole.
non so bene se si arriva a qlke risultato, ma vale la pena provare..
in pratica devi arrivare ad un sistema d 2 equaz in 2 incognite
Ma la condizione di tangenza tra chi? 
Le parabole tra loro sono tangenti solo ne punto (1;1).
Devo trovare un ulteriore retta tangente ad entrambe ma in due punti diversi.
Le parabole tra loro sono tangenti solo ne punto (1;1).Devo trovare un ulteriore retta tangente ad entrambe ma in due punti diversi.
Considera la retta generica del piano
$y=mx+q$
Mettendola a sistema con l'equazione della prima parabola ti trovi un'equazione di secondo grado nei parametri $m$ e $q$. Imponendo che quell'equazione abbia discriminante nullo (condizione di tangenza: $\Delta=0$) si ottiene un'equazione nelle sole incognite $m$ e $q$.
Procedendo alla stessa maniera con l'equazione della seconda parabola si ottiene un'altra equazione nelle incognite $m$ e $q$.
Mettendo a sistema queste due equazioni si trovano i valori di $m$ e $q$ (e quindi le rette) che soddisfano il problema.
Il metodo dovrebbe essere corretto ma non ho svolto i calcoli, fatti sentire se trovi dei problemi o se qualcosa non ti è ancora chiaro.
N.B.: l'equazione $y=mx+q$ non rappresenta a rigore tutte le rette del piano, ma solo quelle non vericali, che invece hanno equazione $x=k$, tuttavia, da come è posto il problema la retta cercata non può essere verticale poiché la seconda parabola ha asse di simmetria verticale e quindi qualunque tangente ad essa non è mai verticale...giusto?
$y=mx+q$
Mettendola a sistema con l'equazione della prima parabola ti trovi un'equazione di secondo grado nei parametri $m$ e $q$. Imponendo che quell'equazione abbia discriminante nullo (condizione di tangenza: $\Delta=0$) si ottiene un'equazione nelle sole incognite $m$ e $q$.
Procedendo alla stessa maniera con l'equazione della seconda parabola si ottiene un'altra equazione nelle incognite $m$ e $q$.
Mettendo a sistema queste due equazioni si trovano i valori di $m$ e $q$ (e quindi le rette) che soddisfano il problema.
Il metodo dovrebbe essere corretto ma non ho svolto i calcoli, fatti sentire se trovi dei problemi o se qualcosa non ti è ancora chiaro.
N.B.: l'equazione $y=mx+q$ non rappresenta a rigore tutte le rette del piano, ma solo quelle non vericali, che invece hanno equazione $x=k$, tuttavia, da come è posto il problema la retta cercata non può essere verticale poiché la seconda parabola ha asse di simmetria verticale e quindi qualunque tangente ad essa non è mai verticale...giusto?
Si i conti vengono giusti. I due sistemi da impostare sono questi:
$y=mx+q$
$y=1/2x^2-1/2x+1$
e
$y=mx+q$
$y=sqrt(x)$
Ho considerato solo il ramo superiore della parabola ad asse orizzontale, perche' l'altra parabola abita nel semipiano superiore, quindi l'intersezione sara' in particolare nel primo quadrante.
Dai due sistemi ti ricavi le due condizioni di tangenza, come ti e' stato suggerito ,che legherai a loro volta a sistema.
Dovresti ottenere:
$4mq-1=0$
$4m^2+4m+8q-7=0$
Qui ci sono un po' di calcoli da fare...
alla fine ottengo $(m+2)(2m-1)^2=0$ da cui ricavo i valori di $m$.
$m=1/2$ e' il coefficiente che hai gia trovato, la tangente che ti viene richiesta e' quella con $m=-2$.
Non mi torna il punto $(1/16,-1/4)$ che non appartiene alla parabola ad asse verticale....
$y=mx+q$
$y=1/2x^2-1/2x+1$
e
$y=mx+q$
$y=sqrt(x)$
Ho considerato solo il ramo superiore della parabola ad asse orizzontale, perche' l'altra parabola abita nel semipiano superiore, quindi l'intersezione sara' in particolare nel primo quadrante.
Dai due sistemi ti ricavi le due condizioni di tangenza, come ti e' stato suggerito ,che legherai a loro volta a sistema.
Dovresti ottenere:
$4mq-1=0$
$4m^2+4m+8q-7=0$
Qui ci sono un po' di calcoli da fare...
alla fine ottengo $(m+2)(2m-1)^2=0$ da cui ricavo i valori di $m$.
$m=1/2$ e' il coefficiente che hai gia trovato, la tangente che ti viene richiesta e' quella con $m=-2$.
Non mi torna il punto $(1/16,-1/4)$ che non appartiene alla parabola ad asse verticale....
Grazie ad Oronte per la verifica! 
Questo procedimento naturalmente fornisce anche i valori di $m$ e $q$ della retta richiesta nella prima parte del problema. Inoltre è interessante osservare che il coefficiente angolare della retta nel punto di tangenza delle due parabole compare come soluzione doppia dell'equazione proprio a motivo di questa sovrapposizione dei due punti di tangenza della retta stessa con ciascuna delle due parabole.
Questo procedimento naturalmente fornisce anche i valori di $m$ e $q$ della retta richiesta nella prima parte del problema. Inoltre è interessante osservare che il coefficiente angolare della retta nel punto di tangenza delle due parabole compare come soluzione doppia dell'equazione proprio a motivo di questa sovrapposizione dei due punti di tangenza della retta stessa con ciascuna delle due parabole.
Grazie Mille, ho fatto i conti e mi trovo.
Solo un osservazione per oronte83, il punto (1/16,-1/4) non deve appartenere alla parabola ad asse verticale ma solo a quella con asse orizzontale. Mentre ci appartiene l'altro punto.
Solo un osservazione per oronte83, il punto (1/16,-1/4) non deve appartenere alla parabola ad asse verticale ma solo a quella con asse orizzontale. Mentre ci appartiene l'altro punto.
"filos":
Grazie Mille, ho fatto i conti e mi trovo.
Solo un osservazione per oronte83, il punto (1/16,-1/4) non deve appartenere alla parabola ad asse verticale ma solo a quella con asse orizzontale. Mentre ci appartiene l'altro punto.
Si ho inteso, dopo. Io avevo calcolato i punti comuni alle parabole, per quello non mi trovavo...adesso mi torna comunque.
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