Tangente ad una parabola
Dato il fascio di rette kx+(2k-1)y-3=0 e la parabola y=-x^2 +9, determina per quale valore di k, se esiste, la retta generica del fascio interseca la parabola in un solo punto.
Io mi trovo che k non esiste. Ho fatto bene?
Io mi trovo che k non esiste. Ho fatto bene?
Risposte
Ciao, condividi i passaggi che hai effettuato per arrivare a questa conclusione.
Ho intersecato il fascio alla parabola
{ kx+(2k-1)y-3=0
{ -x^2-y+9=0
quindi kx+2ky-y-3=-x^2-y+9
x^2+kx+2ky-12=0 in forma implicita
y=-(1/2k)x^2-(1/2)x+6/k in forma esplicita
poi ho posto delta = 0 per ottenere la tangente
(1/4)+(12/k^2)=0
(12/k^2)=(-1/4)
12=(-k^2/4)
k^2=-48
k=sqrt(-48 )
Quindi k non appartiene ad R.
{ kx+(2k-1)y-3=0
{ -x^2-y+9=0
quindi kx+2ky-y-3=-x^2-y+9
x^2+kx+2ky-12=0 in forma implicita
y=-(1/2k)x^2-(1/2)x+6/k in forma esplicita
poi ho posto delta = 0 per ottenere la tangente
(1/4)+(12/k^2)=0
(12/k^2)=(-1/4)
12=(-k^2/4)
k^2=-48
k=sqrt(-48 )
Quindi k non appartiene ad R.
Ho dovuto riscrivere il messaggio in quanto non lo avevo inviato.
Allora, il procedimento analitico da te riportato e' fatto bene fino alla forma esplicita, non ci sono errori di calcolo. Pero' io ho effettuato un procedimento differente dal tuo e mi risulta l'intersezione.
Riporto i passaggi:
Sostituisco la 2) nella 1):
Affinche' ci sia intersezione tra fascio di rette e parabola, dobbiamo trovare come soluzione un solo valore, quindi, ci dobbiamo assicurare che il Delta sia uguale a 0:
Non riporto i calcoli, ma (se non ho sbagliato i conti prima) si trovano due valori di k che assicurano l'annullamento di Delta.
A quel punto si trovano due soluzioni reali e coincidenti che evidenziano l'intersezione.
In serata, se riesco, riprendero' questi argomenti in quanto non sono sicuro al 100% della correttezza logica dei passaggi effettuati. Spero, comunque, di esserti stato d'aiuto.
Allora, il procedimento analitico da te riportato e' fatto bene fino alla forma esplicita, non ci sono errori di calcolo. Pero' io ho effettuato un procedimento differente dal tuo e mi risulta l'intersezione.
Riporto i passaggi:
[math] 1) kx+(2k-1)y-3=0 [/math]
[math] 2) y=-x^2+9 [/math]
Sostituisco la 2) nella 1):
[math] 1) kx+(2k-1)(-x^2+9)-3=0 [/math]
[math] 1) (1-2k)x^2+kx+(18k-12)=0 [/math]
Affinche' ci sia intersezione tra fascio di rette e parabola, dobbiamo trovare come soluzione un solo valore, quindi, ci dobbiamo assicurare che il Delta sia uguale a 0:
[math] \Delta = k^2-4(1-2k)(18k-12) = 0 [/math]
Non riporto i calcoli, ma (se non ho sbagliato i conti prima) si trovano due valori di k che assicurano l'annullamento di Delta.
A quel punto si trovano due soluzioni reali e coincidenti che evidenziano l'intersezione.
In serata, se riesco, riprendero' questi argomenti in quanto non sono sicuro al 100% della correttezza logica dei passaggi effettuati. Spero, comunque, di esserti stato d'aiuto.
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