Tangente ad una curva
Ciao a tutti!
Non riesco a risolvere il seguente esercizio:
Data al curva di equazione $y=(1+x^3)/x^2$, sia A il suo punto di intersezione con l'asse delle x.
Il primo punto ti chiede di tracciare uno schizzo della curva e scrivere l'equazione cartesiana della retta r tangente ad essa nel punto A. Per questo quesito non ho avuto problemi, ho trovato il punto A, fatto la derivata, inserito il punto A nella derivata e trovato la pendenza e infine ho scritto la retta. Però c'è un'altra domanda: "scrivere l'equazione cartesiana della retta s che passa per A ed è tangente alla curva in un ulteriore punto B". Ho pensato di scrivere la retta s nella forma $y-y0=m(x-x0)$, dove x0 e y0 sono le coordinate del punto A e come pendenza ho tenuto l'intera derivata. Ho pensato poi di uguagliare questa retta con quella iniziale per trovare punti in comune ma credo che non sia corretto il ragionamento. Qualcuno è così gentile da spiegarmi come procedere? Grazie mille!
Non riesco a risolvere il seguente esercizio:
Data al curva di equazione $y=(1+x^3)/x^2$, sia A il suo punto di intersezione con l'asse delle x.
Il primo punto ti chiede di tracciare uno schizzo della curva e scrivere l'equazione cartesiana della retta r tangente ad essa nel punto A. Per questo quesito non ho avuto problemi, ho trovato il punto A, fatto la derivata, inserito il punto A nella derivata e trovato la pendenza e infine ho scritto la retta. Però c'è un'altra domanda: "scrivere l'equazione cartesiana della retta s che passa per A ed è tangente alla curva in un ulteriore punto B". Ho pensato di scrivere la retta s nella forma $y-y0=m(x-x0)$, dove x0 e y0 sono le coordinate del punto A e come pendenza ho tenuto l'intera derivata. Ho pensato poi di uguagliare questa retta con quella iniziale per trovare punti in comune ma credo che non sia corretto il ragionamento. Qualcuno è così gentile da spiegarmi come procedere? Grazie mille!
Risposte
Il punto $A$ ha coordinate $(-1, 0)$ e quindi il fascio di rette per $A$ ha equazione $y=m(x+1)$.
Per trovare le intersezioni del fascio con la curva $y=(1+x^3)/x^2$, si fa sistema delle loro equazioni
${(y=m(x+1)), (y=(1+x^3)/x^2):}$.
Sostituendo la $y$ dalla prima nella seconda equazione si ottiene l'equazione di 3° grado in $x$
$m(x+1)=(1+x^3)/x^2->mx^3+mx^2=1+x^3->$
$(m-1)x^3+mx^2-1=0$.
Poiché il fascio ha centro nel punto $A$ della curva, $x=-1$ deve essere una soluzione dell'equazione e quindi il trinomio a primo membro deve essere divisibile per $x+1$.
Infatti è
$(x + 1)*[(m-1)x^2 + x - 1]$.
Allora delle soluzioni dell'equazione $(x + 1)*[(m-1)x^2 + x - 1]=0$ una è in $A$ e le altre due devono essere coincidenti perché la retta che si cerca sia tangente alla curva.
Perciò l'equazione di 2° grado $(m-1)x^2 + x - 1=0$ deve avere $Delta=0$.
Ma
$Delta=1-4(m-1)(-1)=1+4m-4=4m-3=0->m=3/4$.
Perciò la tangente $s$ è
$y=3/4(x+1)$.
Per trovare l'ascissa di $B$, si sostituisce $m=3/4$ nell'equazione $(m-1)x^2 + x - 1=0$.
Si ottiene
$-1/4x^2 + x - 1=0->1/4x^2 - x + 1=0->(1/2x-1)^2=0->x=2$.
Per l'ordinata
$y=3/4(2+1)=9/4$.
Per trovare le intersezioni del fascio con la curva $y=(1+x^3)/x^2$, si fa sistema delle loro equazioni
${(y=m(x+1)), (y=(1+x^3)/x^2):}$.
Sostituendo la $y$ dalla prima nella seconda equazione si ottiene l'equazione di 3° grado in $x$
$m(x+1)=(1+x^3)/x^2->mx^3+mx^2=1+x^3->$
$(m-1)x^3+mx^2-1=0$.
Poiché il fascio ha centro nel punto $A$ della curva, $x=-1$ deve essere una soluzione dell'equazione e quindi il trinomio a primo membro deve essere divisibile per $x+1$.
Infatti è
$(x + 1)*[(m-1)x^2 + x - 1]$.
Allora delle soluzioni dell'equazione $(x + 1)*[(m-1)x^2 + x - 1]=0$ una è in $A$ e le altre due devono essere coincidenti perché la retta che si cerca sia tangente alla curva.
Perciò l'equazione di 2° grado $(m-1)x^2 + x - 1=0$ deve avere $Delta=0$.
Ma
$Delta=1-4(m-1)(-1)=1+4m-4=4m-3=0->m=3/4$.
Perciò la tangente $s$ è
$y=3/4(x+1)$.
Per trovare l'ascissa di $B$, si sostituisce $m=3/4$ nell'equazione $(m-1)x^2 + x - 1=0$.
Si ottiene
$-1/4x^2 + x - 1=0->1/4x^2 - x + 1=0->(1/2x-1)^2=0->x=2$.
Per l'ordinata
$y=3/4(2+1)=9/4$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo