Svolgimento "creativo" di un limite: cambio variabile per poi rimettere la variabile precedente

[matther1]

Salve, ho risolto questo limite utilizzando una procedura un po' insolita, come da titolo del topic: mi è venuta l'idea di utilizzare il cambio di variabile ma poi a un certo punto ho notato che conveniva "ricambiarla", mettendo di nuovo la variabile precedente.

Il calcolo che state per vedere è stato per me molto soddisfacente e vorrei la vostra opinione su questo modo di fare che mi è venuto in mente, perché non l'ho mai visto da nessuna parte:

$lim_(x->0)ln(x+ cosx)/x$

Per usare il limite notevole $lim_(y->0)ln(1+y)/y=0$ ho introdotto la variabile in questo modo:

Sia l'argomento del logaritmo $x+cosx = 1+y$ (in maniera cruda e diretta, sì )

Da cui ricavo $y=x+cosx-1$

Prima di effettuare il cambio di variabile, vado a calcolare a quanto tende y per x che tende a 0:

$lim_(x->0)y=$
$=lim_(x->0)(x+cosx-1)=$
$=(0+1-1)=0$

Avendo controllato che, per $(x->0)$, anche $(y->0)$, ecco come prosegue il limite di partenza:

$lim_(x->0)ln(x+ cosx)/x=$

$=(lim_(x->0)ln(x+ cosx))/(lim_(x->0)(x))=$
Sappiamo che il limite di un quoziente è uguale al quoziente dei limiti, e i 2 limiti a numeratore e denominatore si possono calcolare anche separatamente; mi è venuta quindi l'idea di cambiare variabile solo al limite a numeratore, fra poco vedrete perché:

$=(lim_(y->0)ln(1+y))/(lim_(x->0)(x))=$

$=(lim_(y->0)(ln(1+y)*y/y))/(lim_(x->0)(x))=$

$=(lim_(y->0)(ln(1+y)/y*y))/(lim_(x->0)(x))=$

$=(lim_(y->0)(1*y))/(lim_(x->0)(x))=$

$=(lim_(y->0)y)/(lim_(x->0)x)=$
A questo punto, per evitare la forma indeterminata $0/0$, mi è venuta l'idea di rimettere la variabile precedente:

$=(lim_(x->0)(x+cosx-1))/(lim_(x->0)(x))=$

Se il limite di un quoziente è uguale al quoziente dei limiti, allora il quoziente di due limiti è uguale al limite del quoziente:

$=lim_(x->0)(x+cosx-1)/(x)=$

"Spezziamo" opportunamente la frazione:

$=lim_(x->0)(x/x+(cosx-1)/x)=$

$=lim_(x->0)(x/x-(1-cosx)/x)=$

$=1 - 0=$

$=1$

Il risultato è giusto.

Che ne dite di questo procedimento?

Aspetto volentieri il confronto con voi.

[axpgn]

De L'Hopital no?

[Mephlip]

@Matther: Ci sono almeno due errori:

(i) in generale, non è vero che il limite del quoziente è uguale al quoziente dei limiti. Ciò è vero solo quando non si presentano forme indeterminate (quindi, in questo caso non vale quel teorema).

(ii) Qui:

"matther":
$=(lim_(y->0)(ln(1+y)/y*y))/(lim_(x->0)(x))=$

$=(lim_(y->0)(1*y))/(lim_(x->0)(x))=$

"passi al limite a pezzi": non puoi far tendere \(y\) a \(0\) solo dove vuoi. O passi al limite dappertutto nella funzione sotto il segno di limite, o non passi al limite. Ti è venuto il risultato corretto per caso. Ad esempio, puoi dedurre cose sbagliate come la seguente: \[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}= \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^2} \cdot \frac{\sin x}{x} - \frac{1}{x^2}\right) \color{red}{= \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^2} \cdot 1 - \frac{1}{x^2}\right)=\lim_{x \to 0} 0=0}
\]Mentre il risultato corretto di questo limite è \(-1/6\).

[gugo82]

L'idea è buona, ma non puoi usare due variabili differenti nello stesso limite.

Più che altro, il tuo è un trucco algebrico che ti aiuta ad evidenziare ciò per cui vuoi moltiplicare/dividere; quindi non c'è davvero bisogno di una nuova variabile... Ecco, puoi procedere così:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0} \frac{\ln (x + \cos x)}{x} &= \lim_{x\to 0} \frac{\ln (1 + x + \cos x - 1)}{x} \\
&= \lim_{x\to 0} \frac{\ln (1 + x + \cos x - 1)}{x + \cos x - 1}\cdot \frac{x + \cos x - 1}{x} \\
&= \lim_{x\to 0} \frac{\ln (1 + x + \cos x - 1)}{x + \cos x - 1}\cdot \left( 1 - \frac{1 - \cos x}{x} \right)\\
&= \lim_{x\to 0} \frac{\ln (1 + x + \cos x - 1)}{x + \cos x - 1}\cdot \left( 1 - \frac{1 - \cos x}{x^2}\cdot x \right)
\end{split}
\]
da cui, sfruttando i limiti notevoli:
\begin{align*}
\lim_{y\to 0} \frac{\ln (1 + y)}{y} &= 1 & &\text{e} & \lim_{y\to 0} \frac{1 - \cos y}{y^2} = \frac{1}{2}\; ,
\end{align*}
ottieni facilmente:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0} \frac{\ln (x + \cos x)}{x} &= \lim_{x\to 0} \frac{\ln (1 + x + \cos x - 1)}{x + \cos x - 1}\cdot \left( 1 - \frac{1 - \cos x}{x^2}\cdot x \right)\\
&= 1\cdot \left( 1 - \frac{1}{2}\cdot 0 \right)\\
&= 1\; .
\end{split}
\]

[matther1]

Ringrazio molto @Mephlip e @gugo82 per il tempo dedicatomi.
Erano un paio di decenni che non calcolavo limiti e stavo giusto riprendendo in mano l'argomento.
Grazie di nuovo per i chiarimenti.