Sviluppo binomiale
Salve a tutti
Nella dimostrazione dell'equazione del campo elettrico generato da un dipolo elettrico il libro fa riferimento allo sviluppo binomiale.
In particolare data la quantità
(((1-d)/(2z))^2-((1+d)/(2z))^(-2))
dove d è la distanza tra le due cariche e z è la distanza in cui si vuole misurare il campo, il libro dice che per z>>d si ha d/(2z)<<1 per cui si può sottoporre le due quantità tra parentesi a uno sviluppo binomiale. Successivamente esegue lo sviluppo.
Ora io non ho capito quale sia la formula generale dello sviluppo binomiale, quando e come si utilizzi.
Ho studiato lo sviluppo della potenza di un binomio con la regola di Newton, i coefficienti binomiali, ma non credo c'entri qualcosa nello specifico.
E voi che mi dite...[8D]
Nella dimostrazione dell'equazione del campo elettrico generato da un dipolo elettrico il libro fa riferimento allo sviluppo binomiale.
In particolare data la quantità
(((1-d)/(2z))^2-((1+d)/(2z))^(-2))
dove d è la distanza tra le due cariche e z è la distanza in cui si vuole misurare il campo, il libro dice che per z>>d si ha d/(2z)<<1 per cui si può sottoporre le due quantità tra parentesi a uno sviluppo binomiale. Successivamente esegue lo sviluppo.
Ora io non ho capito quale sia la formula generale dello sviluppo binomiale, quando e come si utilizzi.
Ho studiato lo sviluppo della potenza di un binomio con la regola di Newton, i coefficienti binomiali, ma non credo c'entri qualcosa nello specifico.
E voi che mi dite...[8D]
Risposte
La formula utilizzata spesso in fisica è
(1+x)^n = 1 + n*x se x<<1
dove = stà per "più o meno", quello col bisciolino
Dalla formula del binomio:
(a+b)^n = Sum [i=0..n] [(n,i)* a^(n-1)*b^i]
ponendo a=1 e b=x viene
(1+b)^n = 1 + (n,1)*b + (n,2)*b^2...
ora se b è piccolo, si trascurano le potenze da b^2 in avanti ottenendo l'approssimazione voluta...
Ora, la domanda è: il libro (almeno il mio vecchio) riporta la formula (e la dimostra!) del binomio per n intero, la formula vale ancora per n reale o perlomeno razionale ??? Ecco, si potrebbe ottenere una formula per la sviluppo del binomio di Newton oltre che con il metodo del liceo anche con uno sviluppo in serie di Taylor ( almeno credo, ho appena finito la quinta e Taylor l'ho solo letto) ed il risultato credo rimarrebbe uguale (non provo perchè io con i calcoli non vado d'accordo), cioè la formula dovrebbe valere anche per n reale...
le correzione sono ben accette..
(1+x)^n = 1 + n*x se x<<1
dove = stà per "più o meno", quello col bisciolino
Dalla formula del binomio:
(a+b)^n = Sum [i=0..n] [(n,i)* a^(n-1)*b^i]
ponendo a=1 e b=x viene
(1+b)^n = 1 + (n,1)*b + (n,2)*b^2...
ora se b è piccolo, si trascurano le potenze da b^2 in avanti ottenendo l'approssimazione voluta...
Ora, la domanda è: il libro (almeno il mio vecchio) riporta la formula (e la dimostra!) del binomio per n intero, la formula vale ancora per n reale o perlomeno razionale ??? Ecco, si potrebbe ottenere una formula per la sviluppo del binomio di Newton oltre che con il metodo del liceo anche con uno sviluppo in serie di Taylor ( almeno credo, ho appena finito la quinta e Taylor l'ho solo letto) ed il risultato credo rimarrebbe uguale (non provo perchè io con i calcoli non vado d'accordo), cioè la formula dovrebbe valere anche per n reale...
le correzione sono ben accette..
cmq ogni libro di fisica dovrebbe avere un "formulario" in fondo o all'inizio...
Grazie Thomas cmq è vero all'inizio del libro c'è la formula generale però non dice nient'altro.
Da quello che ho capito dunque lo sviluppo si dovrebbe utilizzare nel caso in cui dato un binomio (1-x)^n o (1+x)^n si ha x<<1, o mi sbaglio?
Da quello che ho capito dunque lo sviluppo si dovrebbe utilizzare nel caso in cui dato un binomio (1-x)^n o (1+x)^n si ha x<<1, o mi sbaglio?
si, mi pare corretto... x è perlomeno reale e la condizion più generale credo sia !x!<<1 (quello è un modulo)...
ciao!
ciao!
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