Superiori (50711)

[piccola stella93]

Qualcuno può aiutarmi a risolvere questi problemi? grazie in anticipo.
1) Determina l'equazione della retta r perpendicolare alla bisettrice del primo e terzo quadrante e che passa per il punto (0;3).Determina sull'asse delle ascisse un punto P equidistante da r e dalle bisettrici del primo e terzo quadrante. Determina l'area del quadrilatero OPHK, essendo H e k le proiezioni di p su r e sulla bisettrice. SOLUZIONE: [y+x-3=0; P(3\2;0), A=9\8]
2)Siano y=2x-1 e y=x-2 le equazioni rispettivamente dell'altezza e della mediana relativa al lato BC del triangolo ABC e (0;4) le coordinate del vertice B. Determina le coordinate degli altri due vertici del triangolo ABC. Condotta poi per C la retta r parallela ad AB che interseca la perpendicolare per B ad AB nel punto D, determina l'area e il perimetro di ABDC. SOLUZIONE:[A(-1;-3);C(8;0); A=42;2p=3

[math]radice10[/math]

+13

[math]radice2[/math]

].
GRAZIE ANCORA!

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Si, ti ringrazio tantissimo. Sono riuscita a risolverlo. Ho provato da sola a svolgere il secondo, ho trovato il punto A facendo l'intersezione delle rette, ma mi sono subito bloccata. Non riesco a trovare il punto C, ho provato in mille modi. La seconda parte del problema, che dice di trovare il punto D, so come devo risolverla. GRAZIE. piccola stella93.

[BIT5]

1) ricordiamo l'equazione della bisettrice del primo e terzo quadrante: essa passa per l'origine (e quindi considerando l'equazione canonica della retta in forma esplicite y=mx+q) avra' q=0.

Inoltre tutti i punti hanno ascissa x = all'ordinata y

L'equazione della bisettrice e' dunque y=x
Con pendenza (m) = 1

Ricordiamo inoltre la condizione di perpendicolarita': due rette sono perpendicolari se la pendenza di una e' uguale all'antireciproco dell'altra

[math] m_1= - \frac{1}{m_2} [/math]

Quindi la retta cercata avra' pendenza =

[math] - \frac{1}{1} = -1 [/math]

e sara' della forma

[math] y=-x+q[/math]

Infine dovra' passare per il punto 0,3 che pertanto ne soddisfera' l'equazione, ovvero

[math] 0 = (-1)(3) + q \to q=3 [/math]

La retta sara'

[math] y=-x+3 [/math]

ovvero (in forma implicita) x+y-3=0

Il punto P giace sull'asse delle ascisse e pertanto avra' y=0 e avra' dunque coordinate generiche

[math] P(x_0,0) [/math]

Questo punto dovra' essere equidistante dalle rette y=x (ovvero x-y=0) e x+y-3=0

La distanza punto-retta e' data dalla formula

[math] d= \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} [/math]

Dove a,b,c sono i parametri della retta in forma implicita (ax+by+c=0) e x0 e y0 le coordinate del punto (nel nostro caso (x0,0))

Dal momento che il punto dovra' essere equidistante da entrambe le rette, poniamo che le distanze siano uguali:

[math] \frac{|x_0|}{\sqrt{1^2}} = \frac{|x_0-3|}{\sqrt{1^2} [/math]

E dunque

[math] |x_0|=|x_0-3| [/math]

Risolviamo dunque (eliminando i valori assoluti)

[math] x_0= \pm (x_0-3) [/math]

1)

[math] x_0=x_0-3 \to 0=-3 [/math]

impossibile

2)

[math]x_0=-x_0+3 \to 2x_0=3 \to x_0= \frac32 [/math]

Il punto P avra' coordinate

[math] P \( \frac32 , 0 \) [/math]

Infine sapendo che le rette (bisettrice e retta r) sono perpendicolari, le proiezioni di P su di esse saranno anch'esse perpendicolari e parallele tra loro. Il quadrilatero sara' un parallelogramma di base 3/2 (la distanza tra P e O) e di altezza l'ordinata del punto H o del punto K.

Prova a concluderlo tu...
Trovi la retta parallela (ad esempio) alla bisettrice e passante per P (come ho fatto prima) a quel punto trovi il punto di intersezione tra questa retta e la retta r.

Troverai cos' le coordinate del punto, la cui ordinata e' l'altezza del parallelogramma.

A quel punto trovi l'area.

Dimmi se riesci e passiamo al secondo :)