Sui vettori

[Il Pitagorico]

Ciao a tutti,
mentre stavo a scuola mi è venuto in mente questo problema sui vettori che non so risolvere (poichè non abbiamo ancora affrontato la trigonometria), fa così: ho tre vettori con intensità a, b, c, e con lo stesso punto di applicazione, quale angolo formano fra di loro le direzioni per far sì che siano in equilibrio?
Saluti
Il Pitagorico.

[giammaria2]

Con la regola del parallelogramma fai la somma $vec a+vec b$: se c'è equilibrio, $vec c$ è uguale e contrario alla sua diagonale. Se osservi una delle due metà in cui la diagonale divide il parallelogramma, noti che i suoi lati misurano $a,b,c$; quindi la risposta è che i tre vettori devono formare fra loro angoli uguali a quelli di un triangolo avente quei lati (occorre un po' di attenzione per il verso).
Oppure, più semplicemente, calcola $vec a+vec b+vec c$ con la regola del poligono di forze: se c'è equilibrio la somma è zero, quindi torni al punto di partenza, ottenendo un triangolo con quei lati.
Senza la trigonometria credo però impossibile calcolare il valore degli angoli.

[Il Pitagorico]

Grazie! comunque l'ho trovata in formule $ c=sqrt(a^2+2abcos(alpha)+b^2) rArr alpha=arccos ((c^2-a^2-b^2)/(2ab)) $. Ho sbagliato?

[giammaria2]

Dipende da cosa intendi per $alpha$: la tua formula va bene se intendi l'angolo esterno al triangolo (a scanso di equivoci, ricordo che si chiama così l'angolo fra un lato del triangolo ed il prolungamento di un altro), sulle rette di $a,b$. In trigonometria, l'uso tradizionale delle lettere è un po' diverso.

[Il Pitagorico]

scusami, ma se uso $ c=sqrt(a^2+2abcos(alpha)+b^2) $ con il $ 2abcos(alpha) $ positivo l'angolo $ alpha $ è quello concavo compreso tra a e b? Ho provato con geogebra e con la calcolatrice, funziona.

[giammaria2]

Facciamo l'esempio di un triangolo equilatero: l'angolo concavo è di $360°-60°=300°$. Con la calcolatrice trovi che $cos300°=1/2$ e la tua formula non dà il risultato giusto.
Probabilmente hai scritto concavo pensando ad ottuso ed in questo caso è proprio quello che io ho chiamato angolo esterno. Vale $180°-60°=120°$ e poiché $cos120°=-1/2$ i conti tornano.

EDIT. Scusami, ho capito l'equivoco. Io pensavo ai vettori spostati a formare il triangolo, mentre tu li consideravi partenti da un stesso punto: in questo caso hai pienamente ragione e se i tre vettori hanno la stessa intensità formano fra loro angoli di 120°.