Sui punti estremanti!!
Buonasera a tutto il forum..svolgendo dei quesiti inerenti il concetto di massimo e minimo di una funzione mi sono accorta che i risultati a cui pervengo non coincidono con quelli del mio libro..quindi sono portata a pensare che sbaglio qualcosa:
Determinare per quali valori del parametro reale $a$ la funzione $f(x)=ax^3-4x^2+8x$ :
1) ha un solo punto estremante;
2) l'ascissa del punto di minimo è maggiore dell'ascissa del punto di massimo:
3) l'ascissa del punto di flesso appartiene all'intervallo (0;1)
Dunque per quanto riguarda il primo punto avevo pensato di porre la derivata prima della funzione uguale a zere e poi imporre il discriminante dell'equazione che ottengo uguale a zere in modo tale da ottenere un'equazione con due soluzioni coincidenti:
Per il punto 2 avevo invece pensato di studiare il segno della derivata prima e calcolare i valori di $x_1$ e $x_2$ (in funzione di a)come in una normale disequazione di secondo grado per poi imporre l'ascissa del minimo maggiore dell'ascissa del massimo;
Per il terzo punto ho posto la derivata seconda pari a zero e ricavato il vaolre di a che poi ho imposto maggiore di zero e minore di 1.
Risultato: non ci ho preso con nessuno dei tre.. mi aiutate???? baci!
Determinare per quali valori del parametro reale $a$ la funzione $f(x)=ax^3-4x^2+8x$ :
1) ha un solo punto estremante;
2) l'ascissa del punto di minimo è maggiore dell'ascissa del punto di massimo:
3) l'ascissa del punto di flesso appartiene all'intervallo (0;1)
Dunque per quanto riguarda il primo punto avevo pensato di porre la derivata prima della funzione uguale a zere e poi imporre il discriminante dell'equazione che ottengo uguale a zere in modo tale da ottenere un'equazione con due soluzioni coincidenti:
Per il punto 2 avevo invece pensato di studiare il segno della derivata prima e calcolare i valori di $x_1$ e $x_2$ (in funzione di a)come in una normale disequazione di secondo grado per poi imporre l'ascissa del minimo maggiore dell'ascissa del massimo;
Per il terzo punto ho posto la derivata seconda pari a zero e ricavato il vaolre di a che poi ho imposto maggiore di zero e minore di 1.
Risultato: non ci ho preso con nessuno dei tre.. mi aiutate???? baci!
Risposte
1. La tua funzione è una cubica e la sua derivata viene di secondo grado. È impossibile che un trinomio di secondo grado cambi di segno una sola volta, o cambia di segno 2 volte o nessuna. Ponendo $Delta=0$ ottieni solo che il determinante si annulli senza far cambiare di segno il trinomio. L'unico modo che abbiamo perché il segno cambi una sola volta è che la derivata non sia di secondo grado, ma diventi di primo grado, ciò succede se la cubica diventa una parabola, cioè se $a=0$.
2. Prima di tutto devono esistere un massimo e un minimo, quindi nella derivata si deve avere $Delta >0$, poi la derivata deve avere il segno nella forma - + -, quindi il primo coefficiente del trinomio deve essere negativo.
3. Qui serve la derivata seconda, l'annulli per trovare l'ascissa del flesso, dovrebbe venire $x_f=4/(3a)$ e poi imponi la disequazione $0<4/(3a)<1$
Mi pare che sia tutto quello che serve, se hai altri dubbi chiedi.
2. Prima di tutto devono esistere un massimo e un minimo, quindi nella derivata si deve avere $Delta >0$, poi la derivata deve avere il segno nella forma - + -, quindi il primo coefficiente del trinomio deve essere negativo.
3. Qui serve la derivata seconda, l'annulli per trovare l'ascissa del flesso, dovrebbe venire $x_f=4/(3a)$ e poi imponi la disequazione $0<4/(3a)<1$
Mi pare che sia tutto quello che serve, se hai altri dubbi chiedi.
Buongiorno!!!..innanzitutto grazie mille @melia per la risposta..ti chiedo di avere ancora un po' di pazienza!!! 
Dunque per il primo e per il terzo punto tutto chiaro!!!
Per il secondo non capisco perchè debba essere -+-..non dovrebbe essere +-+???
Grazie!
Dunque per il primo e per il terzo punto tutto chiaro!!!
Per il secondo non capisco perchè debba essere -+-..non dovrebbe essere +-+???
Grazie!
Hai ragione, mi ero fissata con minore.
Perfetto..allora tutto ok!!!..grazie ancora @melia!..a presto 
Ma scusate anche per $a=2/3$ la $f(x)=ax^3-4x^2+8x$ ammette un solo punto estremante. Fatemi sapere, è un mio dubbio.
Ciao.
Ciao.
Non è vero: $f(x)=2/3x^3-4x^2+8x$ non ha punti estremanti ma solo un punto stazionario in $x=2$ che risulta essere un flessa o tangenza orizzontale. Se calcoli la derivata ottieni infatti la funzione $2x^2-8x+8=2(x-2)^2$ e ti accorgi che si annulla solo in $x=2$ mentre altrove si mantiene positiva.
Ciao Relegal, sai perchè ho postato il messaggio precedente? Guarda questo link: http://www.ripmat.it/mate/c/cg/cge.html
Ho osservato che chiama punti "estremali" anche i flessi, la parola in effetti è un po' fuori dal consueto, anch'io, come Relegal chiamo estremanti, non estremali, solo i massimi e i minimi, e punti stazionari tutti gli zeri della derivata prima, siano essi massimi, minimi o flessi a tangente orizzontale.
Un estremante di una funzione $f(x)$è un punto di massimo o minimo (assoluto o relativo); un punto stazionario è un punto in cui la derivata prima di $f$ si annulla. Vi è un teorema ( di Fermat ) che crea un legame tra punti stazionari e estremanti:
Se un punto è un estremante per $f$ allora è un punto stazionario. (Sotto sempplici ipotesi di regolarità di $f$ nel punto.)
Non è vero il viceversa, un esempio è proprio la cubica $y=x^3$ che in $x=0$ ha un punto stazionario ma non un estremante.
Nel link che hai riportato c'è l'errore (almeno per quella che è la convenzione) di identificare punti estremanti e punti stazionari.
Aggiungo che il sito del link è stato segnalato in un'altra discussione da un moderatore come sito un po' impreciso. TI suggerisco quindi di consultare anche altre fonti, non si sa mai
!
Se un punto è un estremante per $f$ allora è un punto stazionario. (Sotto sempplici ipotesi di regolarità di $f$ nel punto.)
Non è vero il viceversa, un esempio è proprio la cubica $y=x^3$ che in $x=0$ ha un punto stazionario ma non un estremante.
Nel link che hai riportato c'è l'errore (almeno per quella che è la convenzione) di identificare punti estremanti e punti stazionari.
Aggiungo che il sito del link è stato segnalato in un'altra discussione da un moderatore come sito un po' impreciso. TI suggerisco quindi di consultare anche altre fonti, non si sa mai
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Ringrazio @amelia e Relegal per lo scioglimento del dubbio.
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