Successioni e progressioni
Buongiorno!
Vorrei il vostro importante aiuto su quest'esercizio di algebra: devo determinare l'espressione analitica della successione $1/3; 1/2; 3/5; 2/3; ...$. Ci ho pensato molto, ma non ho concluso nulla. Come si fa?
Vorrei il vostro importante aiuto su quest'esercizio di algebra: devo determinare l'espressione analitica della successione $1/3; 1/2; 3/5; 2/3; ...$. Ci ho pensato molto, ma non ho concluso nulla. Come si fa?
Risposte
La tua successione può essere scritta come $1/3; 2/4;3/5;4/6; ...$; vedendola così, non dovrebbe esserti difficile completare l'esercizio.
Sì, $n/(n+2)$, ho capito, grazie mille 
Salve e buon pomeriggio a tutti. Posto una nuova questione, un problema:
"I lati di un rettangolo sono lunghi 1 cm e 2cm. Si construisca, sul lato maggiore del rettangolo ed esternamente ad esso, un quadrato e si consideri la figura formata dal rettangolo dato e dal quadrato costruito. Su tal figura, che risulta ancora un rettangolo, si ripeta la costruzione precedente e si prosegua applicando tale costruzione ai rettangoli via via costruiti. Si determinino i lati minori di tali rettangoli e si scrivano le relazioni che definiscano ricorsivamente la successione delle misure di tali lati".
Allora, ho fatto un po' di passaggi nella figura, e mi è tanto sembrato che quest'esercizio abbia a che fare con Fibonacci. Ma, tuttavia, non riesco a scrivere la definizione ricorsiva della successione delle misure dei lati minori:
Ho scritto:
${(l_0=1),(l_(n+1)=l_n+2):}$, poi ho capito che non andava bene e ho scritto ${(l_0=1),(l_1=l_0+2),(l_(n+1)=l_n+???):}$, ma non so. Come si fa questo problema?
"I lati di un rettangolo sono lunghi 1 cm e 2cm. Si construisca, sul lato maggiore del rettangolo ed esternamente ad esso, un quadrato e si consideri la figura formata dal rettangolo dato e dal quadrato costruito. Su tal figura, che risulta ancora un rettangolo, si ripeta la costruzione precedente e si prosegua applicando tale costruzione ai rettangoli via via costruiti. Si determinino i lati minori di tali rettangoli e si scrivano le relazioni che definiscano ricorsivamente la successione delle misure di tali lati".
Allora, ho fatto un po' di passaggi nella figura, e mi è tanto sembrato che quest'esercizio abbia a che fare con Fibonacci. Ma, tuttavia, non riesco a scrivere la definizione ricorsiva della successione delle misure dei lati minori:
Ho scritto:
${(l_0=1),(l_(n+1)=l_n+2):}$, poi ho capito che non andava bene e ho scritto ${(l_0=1),(l_1=l_0+2),(l_(n+1)=l_n+???):}$, ma non so. Come si fa questo problema?
Consideriamo il lato maggiore di un rettangolo: nel rettangolo successivo esso diventa il lato minore, mentre il maggiore è la somma dei due lati precedenti. La ricorsione è quindi
${(l_0=1), (l_1=2),(l_(n+2)=l_n+l_(n+1)):}$
e giustamente parli di Fibonacci.
${(l_0=1), (l_1=2),(l_(n+2)=l_n+l_(n+1)):}$
e giustamente parli di Fibonacci.
Ho capito, grazie! 
Ora ho una nuova difficoltà: Si abbia la successione definita analiticamente in questo modo: $a_n=n/(n+2)$. Stabilire, fornendo anche una dimostrazione, se questa successione è limitata superiormente.
Allora, io prendo la successione e scrivo:
$n/(n+2)
$(n-Ln-2L)/(n+2)<0$
$n-Ln-2L<0$
$n(1-L)<2L$
Sì, e ora come continuo a dimostrare che vale per tutti i naturali?
Ora ho una nuova difficoltà: Si abbia la successione definita analiticamente in questo modo: $a_n=n/(n+2)$. Stabilire, fornendo anche una dimostrazione, se questa successione è limitata superiormente.
Allora, io prendo la successione e scrivo:
$n/(n+2)
$(n-Ln-2L)/(n+2)<0$
$n-Ln-2L<0$
$n(1-L)<2L$
Sì, e ora come continuo a dimostrare che vale per tutti i naturali?
La disequazione è verificata per tutti i numeri naturali se $1-L<=0$
Ok, ho capito che vale per tutti i naturali se $L=1$, ma perché anche se $L>1$?
"Tacito":
Ok, ho capito che vale per tutti i naturali se $L=1$, ma perché anche se $L>1$?
Perché il primo membro viene negativo e il secondo positivo.
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