Successioni divergenti
Buonasera a tutti!
Studiando le successioni divergenti, incontro il seguente teorema:
Se una successione $a_n$ diverge positivamente, allora è limitata inferiormente.
Il mio libro di testo omette la dimostrazione, tuttavia mi piacerebbe averla (non tollero la mancanza di dimostrazioni nei libri per i licei sperimentali!). Ho cercato in Internet, e le dimostrazioni che ho trovato non sono pienamente comprensibili da me a causa della conoscenza semplicemente liceale dell'argomento!
Qualcuno di voi potrebbe propormi una dimostrazione adatta ad uno studente del quinto anno di liceo?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Studiando le successioni divergenti, incontro il seguente teorema:
Se una successione $a_n$ diverge positivamente, allora è limitata inferiormente.
Il mio libro di testo omette la dimostrazione, tuttavia mi piacerebbe averla (non tollero la mancanza di dimostrazioni nei libri per i licei sperimentali!). Ho cercato in Internet, e le dimostrazioni che ho trovato non sono pienamente comprensibili da me a causa della conoscenza semplicemente liceale dell'argomento!
Qualcuno di voi potrebbe propormi una dimostrazione adatta ad uno studente del quinto anno di liceo?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Risposte
Ciao. 
Occorre mostrare che esiste $h$ tale che $h
Le ipotesi ci dicono che la successione diverge positivamente, cioè matematicamente scriviamo la solita solfa
$\forall k>0 \quad\EEnu_k\in\mathbb{N}\quad:\quad \forall n>\nu_k\quad"si ha"\quad y_n>k$
Supponiamo, per schiarire le idee, di fissare $k=1$.
Significa che è possibile trovare una certa ascissa ($\nu_1$) dopo la quale la successione è sempre maggiore di $1$, $y_n>1$
Ora prendo
$h=min{y_1,y_2,...,y_(\nu_1),1}$
cioè considero l'insieme (che è finito, bada bene) contente i valori della successione fino a quel famoso $\nu_1$ e 1 stesso, e ne considero il minimo, che non so qual è, ma sicuro esiste e lo chiamo $h$.
Quindi posso dire che
$h<=1$ (il caso dell'uguaglianza ci sarebbe solo se $1$ è proprio il minimo di quell'insieme, altrimenti il minimo è un altro e $h$ è maggiore).
Ma vale anche
$1
$y_n>h$ per ogni $n$
Cioè la tesi.
Ho cercato di essere poco formale, prova a vedere e dimmi se ti convince. Altrimenti chiedi pure senza problemi, se serve qualche chiarimento su un passaggio.
A presto.
Occorre mostrare che esiste $h$ tale che $h
Le ipotesi ci dicono che la successione diverge positivamente, cioè matematicamente scriviamo la solita solfa
$\forall k>0 \quad\EEnu_k\in\mathbb{N}\quad:\quad \forall n>\nu_k\quad"si ha"\quad y_n>k$
Supponiamo, per schiarire le idee, di fissare $k=1$.
Significa che è possibile trovare una certa ascissa ($\nu_1$) dopo la quale la successione è sempre maggiore di $1$, $y_n>1$
Ora prendo
$h=min{y_1,y_2,...,y_(\nu_1),1}$
cioè considero l'insieme (che è finito, bada bene) contente i valori della successione fino a quel famoso $\nu_1$ e 1 stesso, e ne considero il minimo, che non so qual è, ma sicuro esiste e lo chiamo $h$.
Quindi posso dire che
$h<=1$ (il caso dell'uguaglianza ci sarebbe solo se $1$ è proprio il minimo di quell'insieme, altrimenti il minimo è un altro e $h$ è maggiore).
Ma vale anche
$1
$y_n>h$ per ogni $n$
Cioè la tesi.
Ho cercato di essere poco formale, prova a vedere e dimmi se ti convince. Altrimenti chiedi pure senza problemi, se serve qualche chiarimento su un passaggio.
A presto.
Steven ti ringrazio! Sei stato chiarissimo.
Ultima cosa: nel caso in cui la successione diverga negativamente, sarà limitata superiormente. Per dimostrarlo, oltre le ovvie modifiche delle ipotesi, quando scelgo $h$, devo considerare il $max$ anzichè il $min$ dell'insieme di cui si è parlato nella dimostrazione precedente?
Ultima cosa: nel caso in cui la successione diverga negativamente, sarà limitata superiormente. Per dimostrarlo, oltre le ovvie modifiche delle ipotesi, quando scelgo $h$, devo considerare il $max$ anzichè il $min$ dell'insieme di cui si è parlato nella dimostrazione precedente?
"Andrea90":
Per dimostrarlo, oltre le ovvie modifiche delle ipotesi, quando scelgo $h$, devo considerare il $max$ anzichè il $min$ dell'insieme di cui si è parlato nella dimostrazione precedente?
Sì, è esattamente così.
Perfetto, mi è tutto chiaro!
Grazie!
Andrea
Grazie!
Andrea
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