Successioni
Supponiamo di avere una successione espressa così:
$a_1=2$
$a_n=f(a_(n-1))$ per ogni $n$ $in$ $N$
cioè il termine generale $a_n$ è espresso in funzione di $a_(n-1)$
Ma a volte è molto più comodo ottenere il termine generale $a_n$ in funzione di $n$, così, dato $n$, è molto facile calcolarsi $a_n$
Come faccio a trovare il modo di esprimere $a_n$ in funzione di $n$? si può sempre fare questo?
$a_1=2$
$a_n=f(a_(n-1))$ per ogni $n$ $in$ $N$
cioè il termine generale $a_n$ è espresso in funzione di $a_(n-1)$
Ma a volte è molto più comodo ottenere il termine generale $a_n$ in funzione di $n$, così, dato $n$, è molto facile calcolarsi $a_n$
Come faccio a trovare il modo di esprimere $a_n$ in funzione di $n$? si può sempre fare questo?
Risposte
Mmm... La domanda è interessante. Ora non ho il tempo per spendere le dovute parole; tuttavia ti rimando ad una discussione che avevo aperto un po' di tempo fa al riguardo: trovi un modo di procedere per trovare l'ennesimo termine della successione di Fibonacci avente soltanto i primi due numeri ed \(\displaystyle n \).
Credo che con la diagonalizzazione e/o triangolarizzazione di matrici si possano fare delle belle magie.
Credo che con la diagonalizzazione e/o triangolarizzazione di matrici si possano fare delle belle magie.
Secondo me sì, si può sempre fare perché dicendo $a_n=f(a_(n-1))$ per ogni $n$ $in$ $N$ stiamo costruendo la successione secondo una legge. In alcuni casi è più immediato tradurre da una "scrittura" all'altra ($a_n=f(a_(n-1))$ e $a_n=f(n)$, in altri è più difficile.
La struttura che presenti (cioè l'elemento iniziale e la relazione f tra un elemento ed il precedente di una successione) definisce quelli che credo si chiamino "sistemi dinamici discreti".
Non ricordo moltissimo, ma credo che non sia sempre possibile esprimere l'elemento n-esimo come funzione di n, a meno di ricorrere ad espressioni del tipo : (*) [tex]f^{[k]}[/tex] per indicare la composizione [tex]f\circ f\circ f\circ ...\circ f[/tex] di [tex]f[/tex] con se stessa ripetuta [tex]k[/tex] volte.
Per esempio, se fosse: [tex]a_{1}=2[/tex] (radianti) e [tex]a_{n+1}=\sin (a_{n})[/tex], l'elemento (n+1)-esimo sarebbe: [tex]\sin (\sin(\sin(...(sin(2))...)))[/tex] e direi che l'unico modo per scriverlo in funzione di n è, accettando la notazione (*) di cui sopra, il seguente: [tex]\sin^{[n]}(2)[/tex], che sarà anche compatta ma prevede comunque di reiterare n volte il calcolo di un seno per arrivare a trovare l'elemento (n+1)-esimo della successione, e quindi è solo formalmente più compatta: al lato pratico per trovare un elemento bisogna passare attraverso il calcolo di tutti i suoi precedenti. O mi sbaglio?
Non ricordo moltissimo, ma credo che non sia sempre possibile esprimere l'elemento n-esimo come funzione di n, a meno di ricorrere ad espressioni del tipo : (*) [tex]f^{[k]}[/tex] per indicare la composizione [tex]f\circ f\circ f\circ ...\circ f[/tex] di [tex]f[/tex] con se stessa ripetuta [tex]k[/tex] volte.
Per esempio, se fosse: [tex]a_{1}=2[/tex] (radianti) e [tex]a_{n+1}=\sin (a_{n})[/tex], l'elemento (n+1)-esimo sarebbe: [tex]\sin (\sin(\sin(...(sin(2))...)))[/tex] e direi che l'unico modo per scriverlo in funzione di n è, accettando la notazione (*) di cui sopra, il seguente: [tex]\sin^{[n]}(2)[/tex], che sarà anche compatta ma prevede comunque di reiterare n volte il calcolo di un seno per arrivare a trovare l'elemento (n+1)-esimo della successione, e quindi è solo formalmente più compatta: al lato pratico per trovare un elemento bisogna passare attraverso il calcolo di tutti i suoi precedenti. O mi sbaglio?
Interessantissimo, anche se non ho capito tutto. Pensavo che la risposta fosse molto più semplice. Ci penso. Bello.
Forse qualche esempio ci può aiutare a trovare la strada. Proviamo a scrivere i termini generici di queste successioni in funzione di $n$.
Successione 1:
$a_1=2$
$a_n=a_(n-1)^2$ per ogni $n$ $in$ $N$
Successione 2:
$a_1=1$
$a_n=a_(n-1)*2012$ per ogni $n$ $in$ $N$
Successione 3:
$a_1=1$
$a_n=a_(n-1)*2012-1$ per ogni $n$ $in$ $N$
Molto interessante anche la dimostrazione della formula generica (in funzione di $n$) della successione Fibonacci, che riprenderò un altro giorno con più calma.
Successione 1:
$a_1=2$
$a_n=a_(n-1)^2$ per ogni $n$ $in$ $N$
Successione 2:
$a_1=1$
$a_n=a_(n-1)*2012$ per ogni $n$ $in$ $N$
Successione 3:
$a_1=1$
$a_n=a_(n-1)*2012-1$ per ogni $n$ $in$ $N$
Molto interessante anche la dimostrazione della formula generica (in funzione di $n$) della successione Fibonacci, che riprenderò un altro giorno con più calma.
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