Successione geometrica

[angela.russotto]

Dato un triangolo isoscele, sia $ h $ la misura dell'altezza relativa alla base e $ l $ la misura dei lati obliqui. Determina quale relazione deve sussistere tra $ l $ e $ h $ affinchè il lato obliquo, il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo e l'altezza siano in progressione geometrica.
Ragionamento: $ r=2/3h $ per il teorema correlato al baricentro . Quindi i termini ordinati della progressione sono $ 2/3h,h,l $. Divido il primo e il secondo termine e trovo che $ q=3/2 $ segue che $ l=3/2 h $
Soluzione è sbagliata.

[Quinzio]

Applico il teorema di Pitagora a 2 triangoli rettangoli

$(r-h)^2+l^2-h^2 = r^2$

da cui segue che

$-2rh +l^2 = 0$

la progressione geometrica impone che $h = kr, r = kl$ da cui $h = k^2 l$

$-2k^3 l^2 +l^2 = 0$

$(-2k^3 + 1) l^2 = 0$

$k =1/ \root(3)(2)$

[@melia]

"zaser123":
Ragionamento: $ r=2/3h $ per il teorema correlato al baricentro . Quindi i termini ordinati della progressione sono $ 2/3h,h,l $. Divido il primo e il secondo termine e trovo che $ q=3/2 $ segue che $ l=3/2 h $
Soluzione è sbagliata.

Il punto di intersezione delle mediane è il baricentro che è diverso dal circocentro (=centro del cerchio circoscritto). Coincidono solo nei triangoli equilateri.

[utente__medio11]

Vedo che già hanno risposto, in ogni caso avevo provato a seguire una strada diversa.

Detto $alpha$ la metà dell'angolo opposto alla base, sarà $h=lcos(alpha)$ e $r=l/(2cos(alpha))$.
Essendo $l>h>r$, imponendo la progressione geometrica tra i termini si ottiene:

$l/h=h/r \ \ \ => \ \ \ l/(lcos(alpha))=(2lcos^2(alpha))/l \ \ \ => \ \ \ cos(alpha)=1/(2^(1/3))$

[angela.russotto]

Grazie a tutti.