Successione

[danielem1]

devo calcolare il limite della successione definita per ricorrenza: a(1)=1; a(n+1)=ln(1+an) non riesco ad impostare il problema, cioè non riesco a definire an in funzione di n, nell'espressione mi rimane sempre an, oppure scrivo una sequenza di logaritmi di logaritmi di logaritmi ecc..che partono dal logaritmo naturale di 2. Come devo impostare il problema? Grazie

[Indrjo Dedej]

Hai quindi la successione \((a_n)_{n \in \mathbb N_0}\) definita così\[\begin{cases} a_1=1 \\ a_{n+1}=\ln(1+a_n)\end{cases}.\] Ti do due affermazioni da dimostrare per arrivare alla risoluzione:

1. la successione è positiva (puoi farlo per induzione)
2. la successione è strettamente decrescente (anche qui con l'induzione ci arrivi facilmente)
[/list:u:obbraus6]
Cosa deduci? La successione ammette limite o no? Se sì, come lo troveresti?
Nota che si può fare tanto anche se non si conosce una formula chiusa che ci dica quanto vale \(a_n\) direttemente da \(n\).

[Indrjo Dedej]

Quindi?

[danielem1]

che la successione è strettamente decrescente l'ho capito e sono riuscito a dimostrarlo, e il fatto che sia positiva mi fa capire che lo zero è il limite a cui tende, però non sono riuscito a dimostrarlo per induzione, non so come trovare il passo induttivo. Magari ce l'ho sotto gli occhi e non me ne accorgo. Mi rimane sempre il problema di come calcolare questo limite. Vorrei capire se posso ipotizzare che zero è il limite e verificare che esiste un'intorno dx dello zero in cui cadono infiniti punti di an, oppure che devo necessariamente calcolarlo (in questo caso sono al punto di partenza)

[Indrjo Dedej]

Vogliamo dimostrare che \(a_n >0\) per ogni \(n \in \mathbb N ,\, n \ge 1\). Per la stessa definizione della successione, \(a_1>0\). Sia un arbitrario $i \in \mathbb N_0$. Supponiamo vera \(a_i >0\). In tal caso \[a_{i+1}=\ln(1+a_i) >0\,,\] poiché l'argomento della funzione \(\ln\) è maggiore di \(1\) sicuramente.

"danielem":
[...] il fatto che sia positiva mi fa capire che lo zero è il limite a cui tende [...]

Non proprio. Secondo te tutte le successioni positive e strettamente decrescenti hanno limite \(0\)? La (1) dice che la tua successione è limitata inferiormente (da \(0\) in questo caso). Insieme alla (2) ti porta alla conclusione che la successione abbia limite \(\lambda \in \mathbb R\). Ovvero esiste un \(\lambda \in \mathbb R\) tale che \[\lim_{n \to +\infty}a_n=\lambda\,.\] Ora quanto vale \[\lim_{n \to +\infty}a_{n+1}\quad ?\] Sempre \(\lambda\) (perché?). Pertanto \[\lambda=\lim_{n \to +\infty}a_{n+1}=\lim_{n \to +\infty}\ln(1+a_n)=\ln(1+\lambda)\,,\] a dire l'equazione \[\lambda=\ln(1+\lambda)\,.\] Una soluzione è sicuramente \(0\) (provare per credere ). Ma è anche l'unica, perché il limite se esiste (ed esiste, l'abbiamo visto all'inizio) è unico. In conclusione \[\lim_{n \to +\infty}a_n=0\,.\]

[danielem1]

sono d'accordo che non è sufficiente che una successione sia decrescente e positiva per avere zero come limite inferiore. In questo caso l'ho dedotto perché la successione è decrescente, positiva e limitata tra zero e uno. Ho sbagliato? Il ragionamento che hai fatto l'ho capito e intuitivamente ci ero arrivato, pensavo che si potesse, in qualche modo, esprimere la successione in termini di n e non di an. Grazie dell'aiuto.