Studio grafico di funzione
Posto le risposte a questa prova universitaria, chiedo conferma della bontà di quanto scritto:
a) dominio naturale : $[-pi;3[$
b) punti di discontinuità: ricordando che la discontinuità è all'interno del dominio, i punti sono $x=-pi;x=0$
c) si determini immagine di [0;2] tramite f = $3;0$
d)si determini (se esiste) $lim_(x->-pi^+)f(x)$ = $-oo$
e) si determini (se esiste) $lim_(x->0^+)f'(x)$ = $3$ ( sfrutto il teorema di de l'hopital)
f) si determinino se esistono massimi relativi : nessun massimo relativo
g) si determinino se esistono minimi relativi : poteva sembrare x=2 ma derivata destra e sinistra non coincidono, pertanto non è un punto stazionario, quindi no minimo.
che dite ci sono?
Grazie
a) dominio naturale : $[-pi;3[$
b) punti di discontinuità: ricordando che la discontinuità è all'interno del dominio, i punti sono $x=-pi;x=0$
c) si determini immagine di [0;2] tramite f = $3;0$
d)si determini (se esiste) $lim_(x->-pi^+)f(x)$ = $-oo$
e) si determini (se esiste) $lim_(x->0^+)f'(x)$ = $3$ ( sfrutto il teorema di de l'hopital)
f) si determinino se esistono massimi relativi : nessun massimo relativo
g) si determinino se esistono minimi relativi : poteva sembrare x=2 ma derivata destra e sinistra non coincidono, pertanto non è un punto stazionario, quindi no minimo.
che dite ci sono?
Grazie
Risposte
Ci sono alcuni errori.
c) si determini immagine di [0;2] tramite f, l'immagine cercata è un intervallo che si scrive sempre dall'estremo inferiore al superiore $[0; 3]$
e) si determini (se esiste) $lim_(x→0+)f'(x)$. Non capisco come hai fatto a sfruttare il teorema di de l'hopital. La derivata prima è il coefficiente angolare della retta tangente, nel caso particolare le funzione in quell'intervallo è una parte di retta e il suo coefficiente angolare è $m= (Delta y)/(Delta x)=(0-3)/(2-0)=-3/2$
g) si determinino se esistono minimi relativi. Siccome $x_0$ è un punto di minimo relativo se esiste $I(x_0)$ un intorno di $x_0$, per cui $AAx in I(x_0), f(x)>=f(x_0)$, nel nostro caso $2$ va benissimo.
Il resto mi sembra corretto
c) si determini immagine di [0;2] tramite f, l'immagine cercata è un intervallo che si scrive sempre dall'estremo inferiore al superiore $[0; 3]$
e) si determini (se esiste) $lim_(x→0+)f'(x)$. Non capisco come hai fatto a sfruttare il teorema di de l'hopital. La derivata prima è il coefficiente angolare della retta tangente, nel caso particolare le funzione in quell'intervallo è una parte di retta e il suo coefficiente angolare è $m= (Delta y)/(Delta x)=(0-3)/(2-0)=-3/2$
g) si determinino se esistono minimi relativi. Siccome $x_0$ è un punto di minimo relativo se esiste $I(x_0)$ un intorno di $x_0$, per cui $AAx in I(x_0), f(x)>=f(x_0)$, nel nostro caso $2$ va benissimo.
Il resto mi sembra corretto
"@melia":
e) si determini (se esiste) $lim_(x→0+)f'(x)$. Non capisco come hai fatto a sfruttare il teorema di de l'hopital. La derivata prima è il coefficiente angolare della retta tangente, nel caso particolare le funzione in quell'intervallo è una parte di retta e il suo coefficiente angolare è $m= (Delta y)/(Delta x)=(0-3)/(2-0)=-3/2$
se non ricordo male il teorema di de l'hopital mi dice che il limite delle derivate prime di una funzione è uguale al limite della funzione calcolato quando x tende a $x_0$
siccome il limite quando x tende a zero è 3, ho pensato che anche il limite della derivata prima tendesse allo stesso valore.
"@melia":
g) si determinino se esistono minimi relativi. Siccome $x_0$ è un punto di minimo relativo se esiste $I(x_0)$ un intorno di $x_0$, per cui $AAx in I(x_0), f(x)>=f(x_0)$, nel nostro caso $2$ va benissimo.
qui davvero non ci ho capito un'ostia.
scusa ma il minimo per essere tale deve essere un punto in cui la derivata prima diventa uguale a zero no?
e il punto x=2 è un punto di non derivabilita' perchè derivata prima destra e sinistra non coincidono.
Quindi se in quel punto non posso derivare significa che x=2 non è un punto di minimo....o mi sfugge qualcosa??
la definizione l'ho capita, le y di tutti i punti prima di x=2 sono maggiori di quanto sia la y in corrispondenza di 2. Ma però non quadra con le regole di derivazione
"Marco1005":
scusa ma il minimo per essere tale deve essere un punto in cui la derivata prima diventa uguale a zero no?
e il punto x=2 è un punto di non derivabilita' perchè derivata prima destra e sinistra non coincidono.
Quindi se in quel punto non posso derivare significa che x=2 non è un punto di minimo....o mi sfugge qualcosa??
I teoremi hanno delle ipotesi. Il teorema a cui ti riferisci (teorema di Fermat) dice, a grandi linee, che se una funzione $f$ è derivabile in $x_0$ e $x_0$ è un punto di massimo locale oppure di minimo locale, allora $f'(x_0)=0$. Il teorema non afferma nulla se $f$ non è derivabile in $x_0$. Ovvero, in un punto di non derivabilità, a priori, può succedere di tutto: può essere comunque un massimo locale o un minimo locale, oppure può non essere né uno né l'altro. In questi casi, se vuoi provare a dimostrare che un punto di non derivabilità è di massimo locale o minimo locale, devi rifeririti alle loro definizioni (una delle quali è quella riportata da @melia).
Quella definizione, brutalmente, dice che affinché $x_0=2$ sia minimo locale la funzione deve stare sopra $f(2)$ "nei pressi" di $2$. Ossia, deve esistere un intervallo centrato in $2$ in cui i valori della funzione stanno sopra $f(2)$; un intervallo centrato in $2$ è un intervallo della forma $(2-a,2+a)$ per qualche $a>0$ (ne basta anche uno solo). Ad esempio, se $a=1/2$ ti accorgi che, effettivamente, l'intervallo $(2-1/2,2+1/2)=(3/2,5/2)$ è un intorno di $2$ e la funzione $f$ sta sopra $f(2)$ per ogni valore in tale intervallo (basta guardare il grafico, nota che in tale intervallo stiamo dopo $0$ e prima di $3$). Quindi, $2$ è un punto di minimo locale per $f$.
Per assimilare ancora meglio, invece $x_0=1$ non è né punto di minimo locale né punto di massimo locale: infatti, non importa quanto stringi un intervallo intorno a $x_0=1$, troverai sempre valori della funzione che stanno sopra $f(1)$ (quelli corrispondenti ai punti a sinistra di $1$) e valori della funzione che stanno sotto $f(1)$ (quelli corrispondenti ai punti a destra di $1$).
Avete ragione.
sono andato a riguardare la teoria sui massimi e minimi.
effettivamente il fatto che la derivata prima si annulli può essere solo sintomo di possibile massimo o minimo; difatti la derivata si annulla anche in corrispondenza di un flesso orizzontale, dove non è presente ne massimo ne minimo. Sono andato a rileggermi anche un precedente post a cui mi avevi risposto Mephlip. Ho troppa fretta
sono andato a riguardare la teoria sui massimi e minimi.
effettivamente il fatto che la derivata prima si annulli può essere solo sintomo di possibile massimo o minimo; difatti la derivata si annulla anche in corrispondenza di un flesso orizzontale, dove non è presente ne massimo ne minimo. Sono andato a rileggermi anche un precedente post a cui mi avevi risposto Mephlip. Ho troppa fretta
"@melia":
e) si determini (se esiste) $lim_(x→0+)f'(x)$. Non capisco come hai fatto a sfruttare il teorema di de l'hopital. La derivata prima è il coefficiente angolare della retta tangente, nel caso particolare le funzione in quell'intervallo è una parte di retta e il suo coefficiente angolare è $m= (Delta y)/(Delta x)=(0-3)/(2-0)=-3/2$
@melia scusa, ma la mia risposta e) era corretta? il limite della funzione quando x tende a $0^+$ è 3, quindi posso affermare che anche il limite della derivata prima quando x tende a $0^+$ è 3?
grazie
"Marco1005":
posso affermare che anche il limite della derivata prima quando x tende a $0^+$ è 3?
grazie
3 e $-3/2$ sono lo stesso numero?
"ghira":
[quote="Marco1005"]posso affermare che anche il limite della derivata prima quando x tende a $0^+$ è 3?
grazie
3 e $-3/2$ sono lo stesso numero?[/quote]
direi di no ghira. Perchè mi ricordo però che in qualche teorema la funzione per x che tende a zero e la derivata prima che tende a zero erano uguali?
Il teorema di de l'hopital non diceva questo?
"Marco1005":
Il teorema di de l'hopital non diceva questo?
https://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_de_l%27H%C3%B4pital
"ghira":
[quote="Marco1005"]
Il teorema di de l'hopital non diceva questo?
https://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_de_l%27H%C3%B4pital[/quote]
appunto. Ecco perchè ho detto che il limite della derivata prima della funzione tendeva a +3; perchè era lo stesso risultato del limite della funzione. Cosa c'è di sbagliato nell'utilizzare de l'hopital?
Non dice quello.
"ghira":
Non dice quello.
dice che $f(x)/g(x)=l$
e che $(f'(x))/(g'(x))= l$
non ho ipotizzato la stessa cosa??
Quella sera, ghira si sparò.
"Marco1005":Ti avviso che l'Hopital non c'entra niente. Stai facendo confusione. Inoltre sembri pensare che se una funzione tende a un valore allora la sua derivata tende allo stesso valore, il che è falso. Per esempio, prendiamo $f(x)=x^2$, la sua derivata è $f'(x)=2x$. Quando $x$ tende a $3$, abbiamo che $f(x)$ tende a $3^2=9$ ma invece $f'(x)$ tende a $2*3=6$.
appunto. Ecco perchè ho detto che il limite della derivata prima della funzione tendeva a +3; perchè era lo stesso risultato del limite della funzione. Cosa c'è di sbagliato nell'utilizzare de l'hopital?
"Marco1005":
dice che $f(x)/g(x)=l$
e che $(f'(x))/(g'(x))= l$
Per qualsiasi $f$, $g$ e $x$? No. Non dice quello.
"Martino":
. Per esempio, prendiamo $f(x)=x^2$, la sua derivata è $f'(x)=2x$. Quando $x$ tende a $3$, abbiamo che $f(x)$ tende a $3^2=9$ ma invece $f'(x)$ tende a $2*3=6$.
Hai ragione....ma allora quando posso utilizzare de l'hopital?
"ghira":
Per qualsiasi $f$, $g$ e $x$? No. Non dice quello.
mmhh. mi sa di no
. Leggendo bene si utilizza solo per i quozienti di funzioni reali di variabili reali quando restituiscono forme indeterminate $0/0$ o $oo/oo$
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