Studio funzione logaritma con valore assoluto

[insule23]

salve avrei bisogno del vostro aiuto con lo studio e il grafico della seguente funzione:

[math]f(x)=x\, \left ( log^{2}\left | x \right | -1\right )[/math]

Allora ho iniziato a risolverlo.

il dominio della funzione è:

[math]\left \{ \forall x\in \mathbb{R}, con\, \, x\neq 0 \right \}[/math]

la funzione risulta dispari poichè:

[math]f(-x)=-f(x)[/math]

pertanto basta studiare la funzione per x>0.

La funzione è positiva per x>0
e risulta

[math]f(x)=x(log^2 x-1)=0 [/math]

se e solo se

[math]log^2 x=1[/math]

,
cioe

[math]x=e[/math]

quindi il punto di intersezione con l'asse x è A(e,0).

Calcolo ora gli eventuali asintoti.
Si ha:

[math]\lim_{x\rightarrow +\infty }x\, \left ( log^{2}\left | x \right | -1\right )=+\infty [/math]

e

[math]\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x\, \left ( log^{2}\left | x \right | -1\right )}{x}=+\infty [/math]

perciò non esiste ne asintoto orizzontale, ne asintoto obliquo.
Ma anche:

[math]\lim_{x\rightarrow 0^{+} }x\, \left ( log^{2}\left | x \right | -1\right )=0 [/math]

quindi non ha asintoto verticale.

Calcolo la derivata prima.

[math]f^{'}(x)= \left ( log^{2}x -1\right )+x\cdot 2\, \frac{logx}{x}=\left ( log^{2}x -1\right )+ 2\, logx= [/math]

[math]log^{2}x+ 2\, logx -1[/math]

fin qui è giusto quello che ho fatto?
ora mi sono bloccato con il segno della derivata prima..
se mi potete aiutare correggendo eventuali errori
e aiutandomi a continuare a svolgere l'esercizio..
fatemi sapere..
grazie..

[FranceVige]

Ciao,

A

[math]f(x)=0[/math]

, in teoria hai 2 punti, non uno solo, proprio perché hai il quadrato che ti dà due valori.
Quindi, se non mi sbaglio, c'è anche

[math]1/e[/math]

che annulla ciò che hai nella parentesi.
Quindi hai che la funzione parte da 0, vale 0 in

[math]1/e[/math]

e in

[math]e[/math]

, in più hai che tra quei due valori la funzione è negativa e che non ha asintoti a +inf.

Il calcolo della derivata prima è giusta. Ora devi solo porre la derivata prima uguale a 0. Facendo ciò, otterrai i punti con derivata nulla quindi guardi prima o dopo di quel punto se si tratta di punto di massimo, minimo o flesso.

[insule23]

scusa ma nn sto capendo quello che hai
detto..
se puoi rispiegare facendo eventualmente
tutti i relativi passaggi...
inoltre come mi comporto con il valore
assoluto..
fammi sapere..
grazie..

[FranceVige]

lo studio fatto finora è giusto, ti sei solo dimenticato che a f(x)=0 hai anche il valore x=1/e (questo perché hai log^2)
Il valore assoluto ti permette di avere anche il grafico dalla parte delle x negative (altrimenti per x

[insule23]

allora per la derivata seconda abbiamo:

[math]f^{''}(x)=2\frac{logx}{x}+\frac{2}{x}=2\left ( \frac{logx+1}{x}\right )[/math]

ora studio

[math]2\left ( \frac{logx+1}{x}\right )>0[/math]

il segno della derivata seconda è positivo per

[math]x>\frac{1}{e}[/math]

La concavità e rivolta verso:

il basso per [math]0 < x

[FranceVige]

Allora riepiloghiamo cosa hai ottenuto finora:
1. la funzione è dispari
2. la funzione non ha asintoti né verso zero né a più infinito
3. la funzione è maggiore di zero per

[math]0 < x < \dfrac{1}{e}[/math]

ed

[math]x>e[/math]

3. la derivata prima vale:

[math]\log ^{2}x+2\log x-1=0[/math]

ed è maggiore di zero per

[math]0 < x < e^{-1-\sqrt{2}}[/math]

e

[math]x > e^{-1+\sqrt{2}}[/math]

. Quindi i due punti trovati sono, rispettivamente, di massimo e minimo

4. la derivata seconda vale:

[math]\dfrac{2}{x}\left(\log x+1\right)[/math]

e hai un flesso per

[math]x = \dfrac{1}{e}[/math]

Il punto di flesso è il punto per il quale f"(x)=0, poi guardi cos'hai prima e dopo: se la f" è positiva/negativa entrambe le parti, il punto non è di flesso; se la f" è positiva da una parte e negativa dall'altra o viceversa, allora il punto è di flesso (ovviamente cambia la concavità)

Ora che hai tutte queste informazioni, calcoli la f(x) con x uguale ai punti di massimo e minimo trovato, poi tracci una curva (quasi una parabola) che da 0 va al punto max e scende a

[math]x = \dfrac{1}{e}[/math]

, prosegui fino al punto di min e risali verso infinito più o meno verso l'alto, passando per il punto x=e.
Per la parte negativa, essendo dispari, devi solo invertire i segni.

[insule23]

scusami ancora..
ma non mi potresti ppstare
il disegno del grafico.
grazie.

[FranceVige]

Ciao,
ho usato due colori per le due parti di grafico, la parte nera è quella trattata finora, mentre la parte rossa è perché la funzione è dispari.

[insule23]

ok va bene