Studio Funzione Esponenziale
Salve a tutti,
circa l'esercizio: $ f(x)=(e^(1-x))/(x^2-1) $
Quando vado a calcolare i limiti:
$ lim_(x -> +\infty) (e^(1-x))/(x^2-1)=0 $
Ma il problema si presenta per l'estremo inferiore:
$ lim_(x -> -\infty) (e^(1-x))/(x^2-1)= ?? $
L'esercizio dà come risultato $+\infty$, ma non capisco perchè.
Andando a sostituire il limite si presenta nella forma indeterminate $\infty/\infty$. Prendendo in considerazione il teorema della Gerarchia Degli Infiniti le cose non mi tornano semplicemente perchè il limite dovrebbe tendere a $+\infty$ e non a $-\infty$ giusto??
Grazie.
circa l'esercizio: $ f(x)=(e^(1-x))/(x^2-1) $
Quando vado a calcolare i limiti:
$ lim_(x -> +\infty) (e^(1-x))/(x^2-1)=0 $
Ma il problema si presenta per l'estremo inferiore:
$ lim_(x -> -\infty) (e^(1-x))/(x^2-1)= ?? $
L'esercizio dà come risultato $+\infty$, ma non capisco perchè.
Andando a sostituire il limite si presenta nella forma indeterminate $\infty/\infty$. Prendendo in considerazione il teorema della Gerarchia Degli Infiniti le cose non mi tornano semplicemente perchè il limite dovrebbe tendere a $+\infty$ e non a $-\infty$ giusto??
Grazie.
Risposte
Ciao, effettua la sostituzione $x=-t$ da cui otterrai:
\[\lim_{t \to +\infty }\frac{e^{1+t}}{t^2-1}\]
dal quale puoi ricondurti facilmente al limite notevole
\[\lim_{t \to +\infty }\frac{a^t}{t^\alpha }=+\infty \,\,\,\ con\,\,a>1\,\,(in\,questo\,caso\,a=e)\,\,e\,\,\alpha >0\]
dunque:
\[\lim_{t \to +\infty }\frac{e^{1+t}}{t^2-1}=+\infty \]
In alternativa avresti potuto applicare 2 volte il teorema di de l'Hopital ed ottenere lo stesso risultato.
\[\lim_{t \to +\infty }\frac{e^{1+t}}{t^2-1}\]
dal quale puoi ricondurti facilmente al limite notevole
\[\lim_{t \to +\infty }\frac{a^t}{t^\alpha }=+\infty \,\,\,\ con\,\,a>1\,\,(in\,questo\,caso\,a=e)\,\,e\,\,\alpha >0\]
dunque:
\[\lim_{t \to +\infty }\frac{e^{1+t}}{t^2-1}=+\infty \]
In alternativa avresti potuto applicare 2 volte il teorema di de l'Hopital ed ottenere lo stesso risultato.
Scusa non ho capito a quale limite notevole ti riferisci... Grazie.
Ciao, si tratta di un limite notevole poco conosciuto per gli studenti delle superiori ( all'università invece è ben noto ) ed è il seguente:
\[\lim_{x \to +\infty }\frac{x^\beta }{a^x}=0\,\,\,\,\,\,\,a,\beta \epsilon \mathbb{R}\,\,\,\,a>1,\beta >0\]
Da cui, con le medesime condizioni, notiamo:
\[\lim_{x \to +\infty }\frac{a^x }{x^\beta }=+\infty \]
Dopo aver fatto la sostituzione, puoi applicarlo nel seguente modo:
\[\lim_{t \to +\infty }\frac{e^{1+t}}{t^2-1} = \lim_{t \to +\infty }\frac{e\cdot e^t}{t^2(1-\frac{1}{t^2})}= e\cdot \lim_{t \to +\infty } \frac{e^t}{t^2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{t^2}}=e\cdot \infty \cdot 1=\infty \]
Come già detto, se non ti piace questa via, puoi applicare due volte il teorema di de l'Hopital:
\[\lim_{t \to +\infty }\frac{e^{1+t}}{t^2-1} = \lim_{t \to +\infty }\frac{e^{t+1}}{2t}=\lim_{t \to +\infty }\frac{e^{t+1}}{2}=\frac{\infty }{2}=\infty \]
\[\lim_{x \to +\infty }\frac{x^\beta }{a^x}=0\,\,\,\,\,\,\,a,\beta \epsilon \mathbb{R}\,\,\,\,a>1,\beta >0\]
Da cui, con le medesime condizioni, notiamo:
\[\lim_{x \to +\infty }\frac{a^x }{x^\beta }=+\infty \]
Dopo aver fatto la sostituzione, puoi applicarlo nel seguente modo:
\[\lim_{t \to +\infty }\frac{e^{1+t}}{t^2-1} = \lim_{t \to +\infty }\frac{e\cdot e^t}{t^2(1-\frac{1}{t^2})}= e\cdot \lim_{t \to +\infty } \frac{e^t}{t^2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{t^2}}=e\cdot \infty \cdot 1=\infty \]
Come già detto, se non ti piace questa via, puoi applicare due volte il teorema di de l'Hopital:
\[\lim_{t \to +\infty }\frac{e^{1+t}}{t^2-1} = \lim_{t \to +\infty }\frac{e^{t+1}}{2t}=\lim_{t \to +\infty }\frac{e^{t+1}}{2}=\frac{\infty }{2}=\infty \]
Ok grazie, ma si riesce a risolverlo anche senza de l'Hopital?
Purtroppo mi sembra che non ci siano altri limiti notevoli a cui potersi ricondurre in questo caso
$ lim_(x->-oo)(e^(1-x))/(x^2-1) = +oo$
perché il numeratore tende a $+oo$ come anche il denominatore, ma l'infinito del numeratore è di ordine superiore.
P.S. Il limite notevole di cui parlate sopra esprime il fatto che la funzione esponenziale (con base maggiore di 1) tende all'infinito più velocemente di $x$ elevato a qualsiasi esponente positivo.
perché il numeratore tende a $+oo$ come anche il denominatore, ma l'infinito del numeratore è di ordine superiore.
P.S. Il limite notevole di cui parlate sopra esprime il fatto che la funzione esponenziale (con base maggiore di 1) tende all'infinito più velocemente di $x$ elevato a qualsiasi esponente positivo.
Si, ma infatti questo lo avevo scritto anch'io, però ciò detto è vero se $x$ tende a $+\infty$ e non a $-\infty$. Comunque ok grazie!!
Non sono sicuro di aver capito il tuo problema, proviamo a calcolare il limite sostituendo, si ha:
$lim_(x->-oo)(e^(1-x))/(x^2-1)=(e^(1+oo))/((-oo)^2-1)=e^(+oo)/(+oo)=...$ a cosa?
$lim_(x->-oo)(e^(1-x))/(x^2-1)=(e^(1+oo))/((-oo)^2-1)=e^(+oo)/(+oo)=...$ a cosa?
Cioè, la gerarchia degli infiniti si può applicare solo se $x$ tende a $+\infty$ giusto? Se così non fosse si può ovviare mediante sostituzione così che la variabile, chiamiamola $t$, possa tendere a $+\infty$. Dico bene?
Per applicare la gerarchia degli infiniti non devi tener conto di dove tende la x, ma l'ordine di infinito delle singole funzioni, nel tuo caso del numeratore e del denominatore.
Ah, ok. Perchè nel libro che uso c'è scritto per $x$ che tende a $+\infty$. Va bene grazie di tutto!
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