Studio e grafico di una funzione logaritmo

[alessre]

ciao a tutti,
mi potreste aiutare con lo studio e la rappresentazione della seguente funzione:

[math]f(x)= log \, \frac{x^{2}}{1+\left | x-1 \right |}[/math]

grazie

[mc2]

Prima di tutto si specifica il valore assoluto:

[math]f(x)=
\left\{\begin{array}[c]{ll}
\log\frac{x^2}{1-(x-1)}=\log\frac{x^2}{2-x}~~~~~~~ & \mbox{per}~x < 1 \\
0 & \mbox{per}~x = 1 \\
\log\frac{x^2}{1+(x-1)}=\log\frac{x^2}{x}=\log x ~~~~~~~& \mbox{per}~x > 1 \\
\end{array}\right.
[/math]

La funzione logaritmo non e` definita per x=0.

Il dominio di f quindi e`

[math]\{\mathbf{R}-0\}[/math]

Studiamo i limiti:

[math]\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty[/math]

[math]\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty[/math]

[math]\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=-\infty[/math]

[math]\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=-\infty[/math]

Per comodita` studiamo separatamente i due casi x>1 e x

[alessre]

Grazie del tuo aiuto.
Mi potresti dire come hai svolto i limiti della funzione.
Se mi puoi postare i passaggi.
Grazie.

[mc2]

Ti faccio un esempio:

[math]\lim\limits_{x\to -\infty}\log\frac{x^2}{2-x}=
\log\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{x^2}{2-x}=+\infty
[/math]

Per

[math]x\to +\infty[/math]

e

[math]x\to 0[/math]

e` ancora piu` facile: e` la normale funzione logaritmo

[alessre]

ok grazie mille