Studio di un fascio di funzioni omografiche
Ciao a tutti, per domani avrei da studiare questo fascio:
$ y= [(2k + 1)x -1]/[(2+k)x - k] $
Non mi è stata data una consegna precisa, mi si chiede di studiarla generalmente (credo quindi trovare gli asintoti, centro, portarla in forma canonica, generatrici, le degeneri che non so se corrispondono alle precedenti)
Vi prego, aiutatemi.
Grazie mille.
$ y= [(2k + 1)x -1]/[(2+k)x - k] $
Non mi è stata data una consegna precisa, mi si chiede di studiarla generalmente (credo quindi trovare gli asintoti, centro, portarla in forma canonica, generatrici, le degeneri che non so se corrispondono alle precedenti)
Vi prego, aiutatemi.
Grazie mille.
Risposte
io direi che le cose fondamentali sono i punti base (cioè i punti comuni a tutte le iperboli equilatere del fascio) e le iperboli degeneri
per quanto riguarda il primo punto,ti invito a verificare che l'equazione del fascio si può scrivere nella forma
$k(2x-xy+y)+x-1-2xy=0$
quindi si possono prendere come generatrici le curve
$2x-xy+y=0$
$x-1-2xy=0$
i punti base si ottengono mettendo a sistema le equazioni delle 2 generatrici
le iperboli degeneri si ottengono in corrispondenza dei valori di k che sono soluzioni dell'equazione
$frac{2k+1}{2k}=1/k$
infatti ,se i coefficienti al numeratore sono proporzionali ai coefficienti del denominatore si ottengono delle rette con un "buco"
per quanto riguarda il primo punto,ti invito a verificare che l'equazione del fascio si può scrivere nella forma
$k(2x-xy+y)+x-1-2xy=0$
quindi si possono prendere come generatrici le curve
$2x-xy+y=0$
$x-1-2xy=0$
i punti base si ottengono mettendo a sistema le equazioni delle 2 generatrici
le iperboli degeneri si ottengono in corrispondenza dei valori di k che sono soluzioni dell'equazione
$frac{2k+1}{2k}=1/k$
infatti ,se i coefficienti al numeratore sono proporzionali ai coefficienti del denominatore si ottengono delle rette con un "buco"
Grazie, gentilissimo!! Una sola cosa, puoi dirmi l'ultima equazione da cosa deriva e come trovare i punti di intersezione con gli assi?
Grazie ancora!!
Grazie ancora!!
data una funzione omografica $y=frac{ax+b}{cx+d}$ essa è degenere se $a/c=b/d$
ad esempio,$y=frac{6x+2}{3x+1}=frac{2(3x+1)}{3x+1}$
quindi per $ x!= -1$ la funzione equivale alla retta $y=2$
comunque adesso mi sovviene che l'iperbole è degenere anche quando c=0
quindi nel caso del tuo esercizio hai un'iperbole degenere anche quando 2+k=0
per quanto riguarda le intersezioni con gli assi,penso che non siano richieste perchè variano al variare di k,mentre noi cerchiamo proprietà comuni
comunque,per trovare l'intersezione con l'asse y devi mettere a sistema l'equazione della funzione con la retta x=0
..........................................x..........................................................................y=0
ad esempio,$y=frac{6x+2}{3x+1}=frac{2(3x+1)}{3x+1}$
quindi per $ x!= -1$ la funzione equivale alla retta $y=2$
comunque adesso mi sovviene che l'iperbole è degenere anche quando c=0
quindi nel caso del tuo esercizio hai un'iperbole degenere anche quando 2+k=0
per quanto riguarda le intersezioni con gli assi,penso che non siano richieste perchè variano al variare di k,mentre noi cerchiamo proprietà comuni
comunque,per trovare l'intersezione con l'asse y devi mettere a sistema l'equazione della funzione con la retta x=0
..........................................x..........................................................................y=0
ok, ho svolto tutto, l'unica cosa che non riesco a capire è perchè quando vado ad intersecare le due generatrici non trovo punti base, il delta è minore di 0.. è possibile o ho sbagliato qualcosa?
vediamo un po'
dall'equazione della prima generatrice ricaviamo $y=frac{2x}{x-1}$
sostituendo nell'equazione della seconda abbiamo
$frac{-3x^2-2x+1}{x-1}=0$
adesso dovrebbe andare bene
dall'equazione della prima generatrice ricaviamo $y=frac{2x}{x-1}$
sostituendo nell'equazione della seconda abbiamo
$frac{-3x^2-2x+1}{x-1}=0$
adesso dovrebbe andare bene
No le due curve si intersecano. $$\begin{cases}2x-xy+y=0 \\ x-1-2xy=0\end{cases}$$ Prendiamo la prima e la moltiplichiamo per $2$: $$4x-2xy+2y=0$$ Ora facciamo la sottrazione membro-a-membro tra questa e la seconda: $$3x+1+2y=0$$ In questo modo abbiamo eliminato il termine rettangolare. Ora si può procedere per sostituzione: $2y=-3x-1$ e lo mettiamo nella seconda: $$x-1-x(-3x-1)=0 \quad\rightarrow\quad 3x^2+2x-1=0$$ che ammette soluzioni reali.
EDIT: io e raf85 continuiamo a "duettare"!
Finché ci diamo ragione va tutto bene! 
EDIT: io e raf85 continuiamo a "duettare"!
Finché ci diamo ragione va tutto bene!
Grande ragazzi, domani ho il compito e grazie a voi forse, vedrò la sufficienza!
Non so come ringraziarvi, davvero!
Grazie mille e alla prossima
Non so come ringraziarvi, davvero!
Grazie mille e alla prossima
Prego e in bocca al lupo per domani!
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