Studio di un fascio di circonferenze

[DoryFreakOut]

Buonasera,
ho qualche problema a risolvere questi esercizi sullo studio del fascio:
1) x^2+y^2-(4k+3)y=0 (sol. circ. tangenti in O(0;0) )
2) x^2+y^2+(2k-3)x+(2k-7)y=0 (sol. circ. secanti in O(0;0) e A(-2;2) )
3) (1+k)x^2+(1+k)y^2-(k-9)x-2(5k-1)y+9k+5=0 (sol. circ. secanti in A(1;1) e B(4;3) )

Potreste darmi dei consigli per favore? perchè non riesco a risolvere nessuno dei tre :/

[mc2]

1)

[math]x^2+y^2-(4k+3)y=0[/math]

Una generica circonferenza del fascio ha il centro nel punto

[math](0,\frac{4k+3}{2})[/math]

, che si trova sull'asse delle y. Il raggio e`

[math]R=\frac{|4k+3|}{2}[/math]

.
Inoltre la circonferenza passa per l'origine. La circonferenza e` tangente all'asse x nell'origine, e lo si puo` vedere in due modi:

a) la distanza del centro dall'asse x e` uguale al raggio della circonferenza

b) metti a sistema l'equazione della circonferenza e` l'equazione dell'asse x (y=0) e trovi una soluzione doppia:

[math]x^2=0[/math]

2)

[math]x^2+y^2+(2k-3)x+(2k-7)y=0[/math]

Tutte le circonferenze del fascio passano per l'origine.

Scegliamo due valori arbitrari per k e studiamo le intersezioni di queste due circonferenze particolari:

a) scelgo

[math]k=\frac{3}{2}[/math]

:

[math]x^2+y^2-4y=0[/math]

b) scelgo

[math]k=\frac{7}{2}[/math]

:

[math]x^2+y^2+4x=0[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2-4y=0 \\
x^2+y^2+4x=0 \end{array}\right.
[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=4y \\
4y+4x=0 \end{array}\right.
[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}
y=-x \\
2x^2+4x=0 \end{array}\right.
[/math]

[math]\left\{\begin{array}{l}
x=0 \\
y=0 \end{array}\right. ~~~~~~~\mbox{oppure}
~~~~~~~\left\{\begin{array}{l}
x=-2 \\
y=2 \end{array}\right.
[/math]

Le intersezioni tra le due circonferenze particolari sono

[math]O(0,0)[/math]

e

[math]A(-2,2)[/math]

.

Abbiamo visto prima che tutte le circonferenze del fascio passano per O. Vediamo se passano per A:

[math](-2)^2+2^2+(2k-3)\cdot(-2)+(2k-7)\cdot 2=4+4-4k+6+4k-14=0[/math]

Quindi possiamo concludere che tutte le rette del fascio si intersecano in O e A

3)

[math](1+k)x^2+(1+k)y^2-(k-9)x-2(5k-1)y+9k+5=0[/math]

Se

[math]k=-1[/math]

e` una circonferenza degenere (cioe` una retta).

Se

[math]k\neq -1[/math]

invece si ha una circonferenza.

Puoi provare da solo a scegliere per k due valori arbitrari e trovare le intersezioni delle due circonferenze particolari, eccetera.

Ma prima controlla di avere scritto bene l'equazione del fascio (quella che hai scritto qui non corrisponde alla soluzione indicata: probabilmente qualche segno e` sbagliato)