Studio di funzioni a 2 variabili...

[Mega-X]

Dopo essere stato tanto tempo via da questo forum (la mia prof di italiano e storia ci ha messo nella condizione di studio intensivo..) sono tornato..

Volevo farvi una domanda premettendo che queste cose sono cose che esulano dal mio corso di studi (faccio il 4° industriale infatti) ma essendo un autodidatta mi è nata sta passione per la matematica (e successivamente mi nascerà anche per la fisica)

volevo chiedervi, nello studio di funzioni a 2 variabili, si devono calcolare le stesse cose nello studio di funzione ad 1 variabile?

Ovvero devo trovarmi a parte il dominio, anche il segno, intersezioni con gli assi, max e min, concavità e convessità e flessi?

[elgiovo]

Dominio, segno, max e min si trovano. In genere ci si aggiunge la continuità (che è un pò più complicata), la derivabilità (più complicata anch'essa) e una cosa piuttosto nuova, la differenziabilità (esistenza del piano tangente). In una variabile non se ne parla perchè in pratica è la derivabilità.

[elgiovo]

PS: Bentornato!

[Mega-X]

"elgiovo":PS: Bentornato!

Grazie..

oh, e grazie anche per la dritta..

[Mega-X]

Ok ho provato a fare uno studio di funzioni di un esercizio almeno a mio avviso molto semplice..

$z = x + 3y$

quello che vi voglio chiedere e di controllare se ho scritto qualche cretinata e di aiutarmi negli ultimi 2 punti che non ho capito di che trattano..

1. Dominio: $AAx,yinRR$
2. Segno:

se ${(x>0),(y>0):} -> "z SEMPRE maggiore di 0"$
se ${(x>0),(y<0):} -> x > -3y$
se ${(x<0),(y>0):} -> y > -x/3$
se ${(x<0),(y<0):} -> "z MAI maggiore di 0"$

3. Max e Min

${(f_x'(x,y) = 0),(f_y'(x,y) = 0):}$

${(1 = 0),(3 = 0):} -> "z è SEMPRE crescente"$

4. Continuità

Dal momento che il dominio non presenta buchi la $f(x,y)$ è continua in tutto $RR^2$

5. Derivabilità

Non so che voglia dire, ho cercato sul libro ma nulla..

6. Differenziabilità

Ho provato a fare (ma è certamente sbagliato..)

$lim_stackrel(Deltax->0)(Deltay->0)(Deltaf-(Deltax+3Deltay))/(sqrt((Deltax)^2+((Deltay)^2)))=0$

poi sostituendo $Deltaf=f(x+Deltax,y+Deltay)$ sono arrivato alla fine a $lim_stackrel(Deltax->0)(Deltay->0)(x+3y)/(sqrt((Deltax)^2+(Deltay)^2)$ e mi viene $oo$ quindi non è differenziabile

Rispondete al più presto..

Mega-X

[elgiovo]

Il fatto che $mbox(Dom)f=RR^2$ non significa che la funzione sia continua, anche se nel tuo caso lo è. Ad esempio, prendi una funzione a gradino, o una mantissa (che sono esempi di funzioni da $RR$ in $RR$, ma sono ugualmente calzanti).

[Mega-X]

mii già è vero..

cmq si alla fine è continua grazie a dio..

ma poi le altre cose sono giuste?

[elgiovo]

La derivabilità di una funzione in due variabili nel punto $(x_0,y_0)$ sussiste se resta definito in tale punto il vettore gradiente, denotato con $mbox(grad)f(x,y)$, o più semplicemente come $nabla f(x,y)$, e tale vettore è costituito dalle derivate parziali della funzione, calcolate in $(x_0,y_0)$. Le derivate parziali si indicano con $f_x(x,y)$ e $f_y(x,y)$, o anche come $(delf)/(delx)(x,y)$ e $(delf)/(dely)(x,y)$. Per derivare parzialmente rispetto ad $x$ puoi usare le solite regole, ricordandoti di considerare la $y$ come se fosse costante. A questo punto, il vettore gradiente in $(x_0,y_0)$ è $nabla f(x_0,y_0)=((delf)/(delx)(x_0,y_0),(delf)/(dely)(x_0,y_0))$.

[elgiovo]

La differenziabilità è un pò più complicata. Se in una variabile per trovare $dy(x)$ bastava trovare $y'(x)$ e poi moltiplicare per $dx$ ora la questione si fa spinosa: $f(x,y)$ si dice differenziabile in $(x_0,y_0)$ se $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k+o(sqrt(h^2+k^2))$, o equivalentemente se $lim_((h,k)to(0,0))(f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k)/(sqrt(h^2+k^2))=0$.

[elgiovo]

Nel tuo caso stai studiando un piano. I conti li lascio fare a te, te lo dico solo perchè se ti vengono risultati strani saprai di avere sbagliato, in quanto la funzione è ovviamente continua, derivabile e differenziabile ovunque, e non ha massimi e minimi.

[Mega-X]

"elgiovo":La differenziabilità è un pò più complicata. Se in una variabile per trovare $dy(x)$ bastava trovare $y'(x)$ e poi moltiplicare per $dx$ ora la questione si fa spinosa: $f(x,y)$ si dice differenziabile in $(x_0,y_0)$ se $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k+o(sqrt(h^2+k^2))$, o equivalentemente se $lim_((h,k)to(0,0))(f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k)/(sqrt(h^2+k^2))=0$.

miiiiiiiiiiiiiiiiii mi ero scordato il $-f(x_0,y_0)$ in $Deltaf$.. ecco ora mi esce che la funzione è differenziabile

e facendo i conti per vedere se tale funzione è derivabile mi esce che è derivabile, il gradiente viene $(1,3)$ che è un vettore ben definito

quindi ok ho fatto il mio primo studio di funzione a 2 variabili completo..

Grazie per il supporto elgiovo...

Mega-X

P.S. : Mi ero scordato di dire che la $f(x,y)$ non possiede max e min..

[elgiovo]

Prego.