Studio di funzione_LOGARITMO_esercizio svolto

[minivanny]

Ciau! :p

Io ho questa funzione:
y(x)= ln (x^2-1 ) + ( 2x / 5 )

e devo trovare:

a. Dominio
b. Crescenza, Decrescenza ed eventuali massimi e minimi
c. Concavità e flessi




Dominio ---> D = x^2 - 1 > 0, quindi x < - 1 U x > + 1.

limiti: lim --> +- oo = +- oo
lim --> +- 1 = +- 2/5

crescenza e decrescenza ---> faccio la derivata prima: y'(x) = 2x / (x^2 - 1)
N>0 x > 0
D>0 x < - 1 U x > + 1

faccio il grafico (non considero i valori compresi tra - 1 + 1 perchè non sono compresi nel dominio) e noto che decresce per x< -1 e cresce per x> +1.
Ho un massimo in + 1 e un minimo in -1

concavità e flessi ---> faccio la derivata seconda: y''(x) = 2/ 2x semplifico y''(x) = 1/x

faccio il grafico e ho una concavità rivolta verso l'alto per x > 0.


Tutto ciò è giusto?

[aleio1]

Purtroppo eccetto il dominio e i limiti all'infinito è tutto sbagliato..
ricontrolla tutti i calcoli..
inizio col dirti che per x che tende ad 1 il logaritmo tende a -infinito..prosegui correggendo i calcoli così li vediamo passo passo..

[minivanny]

si ho capito cos'ho sbagliato...
ho provato a rifarla:

crescenza e decrescenza:

(1/ x^2)* 2x + 2(5) - 2x(0)= 2x/x^2 - 1 + 10/ 25=

(10 x + 2x^2 - 1 )/ 5(x^2 - 1).

Faccio => 0 N=> 0 D>0 ---> (-5 +- radq(29))/2.

Faccio il grafico e cresce in x< (-5 +- radq(29))/2 decresce in -1

[BIT5]

Allora la derivata prima e' (come hai detto tu)

[math] f'(x)= \frac{2(x^2+5x-1)}{5(x^2-1)} [/math]

N>0

[math] x^2+5x-1>0 \to x< \frac{-5- \sqrt{29}}{2} \ U \ x> \frac{-5+ \sqrt{29}}{2} [/math]

(dove il secondo valore scritto e' poco piu' di zero)

D>0

[math] x^2-1>0 \to x1 [/math]

Facendo il grafico (e segnando duqneu in ordine a partire da sinistra i valori

[math] \frac{-5- \sqrt{29}}{2} \ , \ -1 \ , \frac{-5+ \sqrt{29}}{2} \ , \ 1 [/math]

Otterrai il segno positivo (crescenza) per:

[math] x1 [/math]

Che intersecato con il dominio lascera':

Crescenza:

[math] x< \frac{-5- \sqrt{29}}{2} \ U \ x>1 [/math]

e pertanto decrescente in

[math] \frac{-5- \sqrt{29}}{2} < x < -1 [/math]

in

[math] x= \frac{-5- \sqrt{29}}{2} [/math]

avrai un punto di massimo relativo

Ricontrolla anche i limiti..

[minivanny]

Si ok, allora ho fatto giusto!!!

Ecco...anche sui limiti ho qualche difficoltà....però dovrei fare

lim x --->+- oo di f(x)= - oo

mentre il limite x--->+-1 = +- oo? E' sbagliato mi sa...non riesco a risolverlo

[ciampax]

I limiti sono:

[math]\lim_{x\to\pm 1} f(x)=\log(0)\pm\frac{2}{5}=-\infty[/math]

per cui

[math]x=\pm 1[/math]

sono asintoti verticali, e

[math]\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}x\left(\frac{\ln(x^2-1)}{x}+\frac{2}{5}\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x}{5}=\pm\infty[/math]

Questo perché il logaritmo crece all'infinito molto più lentamente di una qualsiasi potenza di x.

[minivanny]

Ah ok ho capito!!!!! GRAZIE DAVVEROOOO!