Studio di funzione e funzione inversa
Buonpomeriggio.
devo rispondere alle seguenti domande relative a questa funzione:
$y=x^2/(1+x^2)$
domande:
1) si determini il dominio naturale - risposta $R$
2) si determini l'immagine di f - risposta $[0;1)$
3) si determini l'immagine di $f(R^+)$ -risposta - $[0;1)$
4) si determini se la funzione è pari o dispari - risposta pari $f(x)=f(-x)$
5) si stabilisca se $f(R^+ nn D_f)$ è iniettiva, e se si determinare la funzione inversa.
Per la 5 è una funzione iniettiva, ma mi blocco al calcolo della funzione inversa.
Ho sempre scambiato le x con le y, quindi procedo in tal senso:
$x = y^2/(1+y^2)$ ma poi da qui non riesco a proseguire.
La soluzione del professore è la seguente.
$(f(R+))^-1 : [0;1) rarr [0;+oo), y rarr sqrt(y/(y-1))$
utilizza lo stesso calcolo per rispondere anche alle domande 2) e 3) .
personalmente ho disegnato il grafico e ho risposto in base a quello
Grazie come sempre
devo rispondere alle seguenti domande relative a questa funzione:
$y=x^2/(1+x^2)$
domande:
1) si determini il dominio naturale - risposta $R$
2) si determini l'immagine di f - risposta $[0;1)$
3) si determini l'immagine di $f(R^+)$ -risposta - $[0;1)$
4) si determini se la funzione è pari o dispari - risposta pari $f(x)=f(-x)$
5) si stabilisca se $f(R^+ nn D_f)$ è iniettiva, e se si determinare la funzione inversa.
Per la 5 è una funzione iniettiva, ma mi blocco al calcolo della funzione inversa.
Ho sempre scambiato le x con le y, quindi procedo in tal senso:
$x = y^2/(1+y^2)$ ma poi da qui non riesco a proseguire.
La soluzione del professore è la seguente.
$(f(R+))^-1 : [0;1) rarr [0;+oo), y rarr sqrt(y/(y-1))$
utilizza lo stesso calcolo per rispondere anche alle domande 2) e 3) .
personalmente ho disegnato il grafico e ho risposto in base a quello
Grazie come sempre
Risposte
Penso che abbia fatto così ...
$y=x^2/(1+x^2)\ ->\ 1/y=(1+x^2)/x^2\ ->\ 1/y=1/x^2+1\ ->\ 1/y-1=1/x^2$
$(1-y)/y=1/x^2\ ->\ y/(1-y)=x^2\ ->\ sqrt(y/(1-y))=x$
$y=x^2/(1+x^2)\ ->\ 1/y=(1+x^2)/x^2\ ->\ 1/y=1/x^2+1\ ->\ 1/y-1=1/x^2$
$(1-y)/y=1/x^2\ ->\ y/(1-y)=x^2\ ->\ sqrt(y/(1-y))=x$
"axpgn":
Penso che abbia fatto così ...
$y=x^2/(1+x^2)\ ->\ 1/y=(1+x^2)/x^2\ ->\ 1/y=1/x^2+1\ ->\ 1/y-1=1/x^2$
$(1-y)/y=1/x^2\ ->\ y/(1-y)=x^2\ ->\ sqrt(y/(1-y))=x$
Ok capito i calcoli, non l'avevo minimamente pensato.
ma.....domanda....nella funzione inversa dovrei comunque isolare la y e riscrivere tutto come $y=f(x)$
il prof invece lascia tutto in funzione della x - non cambia nulla ma è tanto per capire
Allora ... è facile fare casino (e a me capita 
)
Io ti ho mostrato i conti da fare per esplicitare una variabile in funzione dell'altra ovvero tu avevi originalmente la $y$ esplicitata in funzione di $x$ e io te l'ho rigirata in modo che la $x$ fosse esplicitata in funzione di $y$, quindi ho solo riscritto la funzione originaria in modo diverso ovvero NON ho cambiato niente, la funzione riscritta in quel modo, disegnata sullo stesso piano cartesiano, è la stessa di quella originale non la sua inversa; chiaro?
Però a 'sto punto basta scambiare la $x$ con la $y$ e ottieni la tua inversa
Provare per credere
)Io ti ho mostrato i conti da fare per esplicitare una variabile in funzione dell'altra ovvero tu avevi originalmente la $y$ esplicitata in funzione di $x$ e io te l'ho rigirata in modo che la $x$ fosse esplicitata in funzione di $y$, quindi ho solo riscritto la funzione originaria in modo diverso ovvero NON ho cambiato niente, la funzione riscritta in quel modo, disegnata sullo stesso piano cartesiano, è la stessa di quella originale non la sua inversa; chiaro?
Però a 'sto punto basta scambiare la $x$ con la $y$ e ottieni la tua inversa
Provare per credere
Allora però la soluzione del prof è sbagliata. La funzione inversa è
$y= sqrt(x/(x-1))$
$y= sqrt(x/(x-1))$
Sì.
Grazie Alex
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