Studio di funzione del potenziale
Dovrei fare lo studio del seguente potenziale efficace:
$ V^(eff) = 1 / 2 L^(2) / r^(2) - e^{-r/R} / r $
Dove $L$ è il momento angolare, il potenziale è dato da un campo di forza centrale, ed $R$ è una costante positiva.
Ho provato a fare limiti e derivate ma trovo risultati un po contraddittori: ad esempio, da un grafico della funzione tramite software risulta $ lim_(r -> +oo ) V^(eff) = 0^+ $ , mentre matematicamente io avrei messo $ 0^- $ visto l'esponenziale che decade piu velocemente di $ r^2 $ ; dov'è l'intoppo?
Inoltre avrei bisogno di una mano con la derivata... insomma, un aiutino
$ V^(eff) = 1 / 2 L^(2) / r^(2) - e^{-r/R} / r $
Dove $L$ è il momento angolare, il potenziale è dato da un campo di forza centrale, ed $R$ è una costante positiva.
Ho provato a fare limiti e derivate ma trovo risultati un po contraddittori: ad esempio, da un grafico della funzione tramite software risulta $ lim_(r -> +oo ) V^(eff) = 0^+ $ , mentre matematicamente io avrei messo $ 0^- $ visto l'esponenziale che decade piu velocemente di $ r^2 $ ; dov'è l'intoppo?
Inoltre avrei bisogno di una mano con la derivata... insomma, un aiutino
Risposte
Metti in evidenza $1/r$: ti resta la differenza fra due frazioni, entrambe tendenti a $0^+$. Poiché l'esponenziale decade più velocemente della prima frazione, risulta trascurabile rispetto ad essa e quindi il segno del risultato è dato dalla prima frazione.
Per quanto riguarda la derivata, il primo addendo non ti dà certo difficoltà; mi limito al secondo, $y=(e^(-r/R))/r$ e metto in evidenza il denominatore per una scrittura più chiara.
$y'=1/r^2[e^(-r/R) *(-1/R)*r-e^(-r/R)]=1/r^2*e^(-r/R)*(-r/R-1)$
Per quanto riguarda la derivata, il primo addendo non ti dà certo difficoltà; mi limito al secondo, $y=(e^(-r/R))/r$ e metto in evidenza il denominatore per una scrittura più chiara.
$y'=1/r^2[e^(-r/R) *(-1/R)*r-e^(-r/R)]=1/r^2*e^(-r/R)*(-r/R-1)$
Grazie per il chiarimento utilissimo!
Dunque mi troverei a risolvere l'equazione per la derivata: $ -L^2 +r(1+r/R)e^{-r/R}=0 $ ,
ovvero qualcosa che è vagamente semplificabile come: $ ln L^2 -r/R+ln (r+(r^2)/R)=0 $
ma a questo punto, come dicevo all'inizio, mi areno non sapendo come muovermi per risolvere l'equazione...
Dunque mi troverei a risolvere l'equazione per la derivata: $ -L^2 +r(1+r/R)e^{-r/R}=0 $ ,
ovvero qualcosa che è vagamente semplificabile come: $ ln L^2 -r/R+ln (r+(r^2)/R)=0 $
ma a questo punto, come dicevo all'inizio, mi areno non sapendo come muovermi per risolvere l'equazione...
Non ti resta che la soluzione grafica, però piuttosto che la seconda equazione io preferirei lavorare sulla prima confrontando una parabola con un'eponenziale:
$ -L^2 +r(1+r/R)e^{-r/R}=0 $ , che diventa $ r(1+r/R)=L^2 *e^{r/R} $ quindi si tratta di confrontare la parabola $y=r(1+r/R)$ con l'esponenziale $y=L^2 *e^{r/R} $ e trovare graficamente le soluzioni.
$ -L^2 +r(1+r/R)e^{-r/R}=0 $ , che diventa $ r(1+r/R)=L^2 *e^{r/R} $ quindi si tratta di confrontare la parabola $y=r(1+r/R)$ con l'esponenziale $y=L^2 *e^{r/R} $ e trovare graficamente le soluzioni.
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