Studio di funzione con valore assoluto
$|(x)/(x^2+1)|$
allora dato che le 'barrette' del valore assoluto si comportano come le parentesi potrei scrivere anche cosi:
$|x|/|x^2+1|$
INSIEME DI DEFINIZIONE
Caso1
$x/(x^2+1)$
$se x>0$ cioè se il numeratore è maggiore di $0$
$x^2>1$ $->(-infty;+infty)$ in questo caso prendo solo il valore che va da $(0;+infty)$ perchè sto guardando aolo il caso quando il numeratore è $+x$ e non $-x$(lo so che potrei risparmiarmelo ma lo faccio perchè vorrei vedere tutte le cose in modo meccanico)
Caso2
se$x<0$ se il numeratore è $<0$
$-x/(x^2+1)$ $->(-infty;+infty)$ guardo solo il caso che va da $(-infty;0)$
Caso3
$x/(-x^2-1)$ La funzione non esiste
Caso4
$(-x)/(-x^2-1)$ La funzione non esiste
FUSIONE DEI 4 CASI
$(-infty;0)V(0;infty)$ con $0$ incluso insomma è $(-infty;+infty)$ cioè ho messo prima il modo 'meccanico' poi quello 'cosciezioso'
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
Caso1
Assex Asse y
cè intersezione $0,0$ cè intersezione $(0,0)$
Caso2
Assex
cè intersezione $(0;0)$
Assey
cè intersezione $(0;0)$
Caso2
STUDIO DEL SEGNO
Caso1
Studio solo il numeratore, quindi $x>=0$
Caso2
Studio solo il numeratore, quindi $x<=0$
Caso3 e 4
Dato che la funzione è inesistente non lo studio piu
FUSIONE DEI 4 CASI
da $(-infty;0)$ e da $(0;infty)$ la funzione è positiva
LIMITI
Caso2
$lim_(x->-infty)=(-x)/(x(x+1/x))$ dato che $1/x->0$ al denominatore abbiamo solo 1 e il limite tende a $0$
Caso1
$lim_(x->+infty)$ uso de l'hopital e vine $0$
poi continuo...nel frattempo potete correggermi qualora io abbia toppato
DERIVATA
Caso1
$x/(x^2+1)=(-x^2+1)/(x^2+1)^2$
Caso2
$-x/(x^2+1)=(-1(x^2+1)+x(2x))/(x^2+1)^2=(-x^2-1+2x^2)/(x^2+1)^2=(x^2-1)/(x^2+1)^2$
CRESCENZA O DECRESCENZA
Caso1
negativa in $(-infty;-1)$positiva in $(-1;1)$ negativa in $(1;+infty)$
Caso2
positiva da $(-infty-1)V(1;+infty)$ negtiva in mezzo....ma prendo solo la parte dell'intervallo $(-infty;0)$ che viene 'spaccata' in 2, ovvero di quest'ultima parte ho quella da $(-infty;-1)$ positiva e $(-1;0)$ negativa
FUSIONE DEI 4 CASI
positiva da $(-infty;-1)$ negativo da $(-1;0)$, positivo da $(0;1)$ negativo in $(1;+infty)$
DERIVATA SECONDA
Caso1
$(-2x^3+2x+4x^5)/(x^2+1)^4$ allora ho raccolto la $x$ al $N$ e vedo che ponendo $x>0$ il polinomio interno è sempre positivo, quindi concavo nell'intervallo $(0,+infty)$
Caso2
$((2x(x^2+2x+1)-4x^5+4x)/(x+1)^4)$
$x(-4x^4++2x^2+2x+6)>=0$
ecco io però piu di cosi non riesco a scomporlo, con ruffini non trovo il numero che mi annulla il polinomio....
bo va be fatemi sapere le vostre conclusioni
Cordialmente
allora dato che le 'barrette' del valore assoluto si comportano come le parentesi potrei scrivere anche cosi:
$|x|/|x^2+1|$
INSIEME DI DEFINIZIONE
Caso1
$x/(x^2+1)$
$se x>0$ cioè se il numeratore è maggiore di $0$
$x^2>1$ $->(-infty;+infty)$ in questo caso prendo solo il valore che va da $(0;+infty)$ perchè sto guardando aolo il caso quando il numeratore è $+x$ e non $-x$(lo so che potrei risparmiarmelo ma lo faccio perchè vorrei vedere tutte le cose in modo meccanico)
Caso2
se$x<0$ se il numeratore è $<0$
$-x/(x^2+1)$ $->(-infty;+infty)$ guardo solo il caso che va da $(-infty;0)$
Caso3
$x/(-x^2-1)$ La funzione non esiste
Caso4
$(-x)/(-x^2-1)$ La funzione non esiste
FUSIONE DEI 4 CASI
$(-infty;0)V(0;infty)$ con $0$ incluso insomma è $(-infty;+infty)$ cioè ho messo prima il modo 'meccanico' poi quello 'cosciezioso'
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
Caso1
Assex Asse y
cè intersezione $0,0$ cè intersezione $(0,0)$
Caso2
Assex
cè intersezione $(0;0)$
Assey
cè intersezione $(0;0)$
Caso2
STUDIO DEL SEGNO
Caso1
Studio solo il numeratore, quindi $x>=0$
Caso2
Studio solo il numeratore, quindi $x<=0$
Caso3 e 4
Dato che la funzione è inesistente non lo studio piu
FUSIONE DEI 4 CASI
da $(-infty;0)$ e da $(0;infty)$ la funzione è positiva
LIMITI
Caso2
$lim_(x->-infty)=(-x)/(x(x+1/x))$ dato che $1/x->0$ al denominatore abbiamo solo 1 e il limite tende a $0$
Caso1
$lim_(x->+infty)$ uso de l'hopital e vine $0$
poi continuo...nel frattempo potete correggermi qualora io abbia toppato
DERIVATA
Caso1
$x/(x^2+1)=(-x^2+1)/(x^2+1)^2$
Caso2
$-x/(x^2+1)=(-1(x^2+1)+x(2x))/(x^2+1)^2=(-x^2-1+2x^2)/(x^2+1)^2=(x^2-1)/(x^2+1)^2$
CRESCENZA O DECRESCENZA
Caso1
negativa in $(-infty;-1)$positiva in $(-1;1)$ negativa in $(1;+infty)$
Caso2
positiva da $(-infty-1)V(1;+infty)$ negtiva in mezzo....ma prendo solo la parte dell'intervallo $(-infty;0)$ che viene 'spaccata' in 2, ovvero di quest'ultima parte ho quella da $(-infty;-1)$ positiva e $(-1;0)$ negativa
FUSIONE DEI 4 CASI
positiva da $(-infty;-1)$ negativo da $(-1;0)$, positivo da $(0;1)$ negativo in $(1;+infty)$
DERIVATA SECONDA
Caso1
$(-2x^3+2x+4x^5)/(x^2+1)^4$ allora ho raccolto la $x$ al $N$ e vedo che ponendo $x>0$ il polinomio interno è sempre positivo, quindi concavo nell'intervallo $(0,+infty)$
Caso2
$((2x(x^2+2x+1)-4x^5+4x)/(x+1)^4)$
$x(-4x^4++2x^2+2x+6)>=0$
ecco io però piu di cosi non riesco a scomporlo, con ruffini non trovo il numero che mi annulla il polinomio....
bo va be fatemi sapere le vostre conclusioni
Cordialmente
Risposte
"ramarro":
$|(x)/(x^2+1)|$
allora dato che le 'barrette' del valore assoluto si comportano come le parentesi potrei scrivere anche cosi:
$x/|x^2+1|$
Sono due funzioni diverse, non sono equivalenti ...
Cordialmente, Alex
No ma infatti stavo modificando il messaggio perchè mancavano le 'barrette' al numeratore, guardalo ora, ho visto che cè un limite sbagliato, ma quello lo modifico domani.
Grazie
Cordiali saluti
Grazie
Cordiali saluti
Forse intendeva \( \frac{\left | x \right |}{\left | x^2+1 \right |}\)
edit: ho visto ora.
Come si fanno le barrette in "non-LaTeX" ?
edit: ho visto ora.
Come si fanno le barrette in "non-LaTeX" ?
@ramarro
non c'è bisogno di distinguere nessun caso per l'insieme di definizione
il denominatore non si annulla mai e quindi $D=mathbbR$
poi,è ovvio che la funzione è positiva $forall x ne 0$
inoltre,la funzione è pari,basta studiarla solo in $[0,+infty)$ e ricordare che il grafico di una funzione di questo tipo è simmetrico rispetto all'asse delle y
non c'è bisogno di distinguere nessun caso per l'insieme di definizione
il denominatore non si annulla mai e quindi $D=mathbbR$
poi,è ovvio che la funzione è positiva $forall x ne 0$
inoltre,la funzione è pari,basta studiarla solo in $[0,+infty)$ e ricordare che il grafico di una funzione di questo tipo è simmetrico rispetto all'asse delle y
Grazie a tutti, cmq è vero l'insieme di definizione era sbagliato prima c'era scritto un $1$ che non ci doveva essere, sono andato poi avanti a farlo, guardate sopra che l'ho modificato nello stesso messaggio
Mi pare che qualcuno abbia detto che la funzione è pari, cioè simmetrica rispetto all'asse $y$, quindi fare la derivata seconda nel secondo caso non serve 
Cerca di chiamarla convessa quando la derivata seconda è positiva, visto che quasi tutti la chiamano così, OK?
Cerca di chiamarla convessa quando la derivata seconda è positiva, visto che quasi tutti la chiamano così, OK?
Ok, quindi confermi i risultati? Possiamo dire che ci sto capendo qualcosa per quanto concerne il valoore assoluto e la 'fusione dei risultati'?se mi dici che è a posto cosi metto on line anche il grafico fatto a mano... 
Ascolta ne hai un altro di studio di funzione con il valore assoluto da darmi? Perchè io sono a secco, non so piu da dove prenderli
Grazie
Cordiali saluti
Ascolta ne hai un altro di studio di funzione con il valore assoluto da darmi? Perchè io sono a secco, non so piu da dove prenderli
Grazie
Cordiali saluti
Nel prossimo studio che farai, dovresti cercare di essere più sintetico, altrimenti è un po' difficile districarsi tra tutti quei casi. Io almeno mi perdo 
Qui per esempio c'è la simmetria, quindi puoi evitare di trattare i casi negativi, poi a denominatore il segno di valore assoluto è inutile perché il suo interno è sempre positivo (la funzione che ti avevo proposto ha il "meno" sotto che la complica un po').
Comunque per quanto ho visto mi pare giusto. Vediamo il disegno
Potresti fare quella che ti avevo scritto e che hai scritto qui diversamente, oppure guarda questa che carina (sempre tratta dallo Zwirner):
$$y=\ln\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{|x^2-x|}\right)$$
Qui per esempio c'è la simmetria, quindi puoi evitare di trattare i casi negativi, poi a denominatore il segno di valore assoluto è inutile perché il suo interno è sempre positivo (la funzione che ti avevo proposto ha il "meno" sotto che la complica un po').
Comunque per quanto ho visto mi pare giusto. Vediamo il disegno
Potresti fare quella che ti avevo scritto e che hai scritto qui diversamente, oppure guarda questa che carina (sempre tratta dallo Zwirner):
$$y=\ln\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{|x^2-x|}\right)$$
In realta ho dimenticato di studiare un 'minimo' che stava sullo $0$
Va be cmq secondo me sarebbe da calcolare cosi:$x/(x^2+1)$ sostituisco $0/(0+1)=0$. Ho quindi un 'minimo' in $(0,0)$
Scusa poi però potresti rivedere i limiti che ora gli ho modificati perchè prima per me erano sbagliati.
Va be cmq secondo me sarebbe da calcolare cosi:$x/(x^2+1)$ sostituisco $0/(0+1)=0$. Ho quindi un 'minimo' in $(0,0)$
Scusa poi però potresti rivedere i limiti che ora gli ho modificati perchè prima per me erano sbagliati.
Sei sicuro che la derivata seconda sia corretta?
Mi sembra che sia un flesso per $ x=+-sqrt(3) $ e che la curva guardi prima in basso e poi in alto partendo da $ x=0 $.
Per semplificare i calcoli nella derivata seconda raccogli a fattor comune $ x^2+1 $ e semplifica la frazione.
Mi sembra che sia un flesso per $ x=+-sqrt(3) $ e che la curva guardi prima in basso e poi in alto partendo da $ x=0 $.
Per semplificare i calcoli nella derivata seconda raccogli a fattor comune $ x^2+1 $ e semplifica la frazione.
Scusa, ma non capisco, io ho fatto cosi:
la derivata prima non so se ti torna quella del primo caso, ti viene cosi? $(-x^2+1)/(x+1)^2$
poi $-((x+1)(x-1))/(x+1)^2$
$(-(x-1))/(x+1)$
$(x+1)/(x+1)$
$1>=0$
quindi la derivata viene $1$
La DERIVATA SECONDA
la derivata di $1$ è $0$
$0>=0$
sempre...la derivata seconda è simmetrica perchè c'è la simmetria
però non so puo darsi benissimo che sia sbagliato, fammi sapere.
Grazie
Cordiali saluti
la derivata prima non so se ti torna quella del primo caso, ti viene cosi? $(-x^2+1)/(x+1)^2$
poi $-((x+1)(x-1))/(x+1)^2$
$(-(x-1))/(x+1)$
$(x+1)/(x+1)$
$1>=0$
quindi la derivata viene $1$
La DERIVATA SECONDA
la derivata di $1$ è $0$
$0>=0$
sempre...la derivata seconda è simmetrica perchè c'è la simmetria
però non so puo darsi benissimo che sia sbagliato, fammi sapere.
Grazie
Cordiali saluti
Scusa, ma la funzione non è:
$ f(x)=x/(x^2+1) $ ?
che ha derivata prima:
$ f'(x)=(-x^2+1)/(x^2+1)^2 $
$ f(x)=x/(x^2+1) $ ?
che ha derivata prima:
$ f'(x)=(-x^2+1)/(x^2+1)^2 $
si è quella, adesso però non riesco piu sono stressatissimo riprendo o domani o fra 2 giorni, ma perchè dove sbaglio?tu scrivi pure che cmq anche se domani non scrivo pero almeno leggo.
Cioè quello che avevo fatto io era sostituire il numeratore $-x^2+1$ con $-(x-1)(x+1)$
Cioè quello che avevo fatto io era sostituire il numeratore $-x^2+1$ con $-(x-1)(x+1)$
"ramarro":
dove sbaglio?
Cioè quello che avevo fatto io era sostituire il numeratore $ -x^2+1 $ con $ -(x-1)(x+1) $
Hai scritto il denominatore in modo errato $ (x+1)^2 $ invece di $ (x^2+1)^2 $ , inoltre $ -(x-1)=-x+1 $ e non $ x+1 $.
La derivata di $ f'(x)=(-x^2+1)/(x^2+1)^2 $ è:
$ f''(x)=(-2x(x^2+1)^2-(-x^2+1)*2(x^2+1)*2x)/(x^2+1)^4 $
Semlificando $ x^2+1 $ si ottiene:
$ f''(x)=(-2x^3-2x+4x^3-4x)/(x^2+1)^3 =(2x^3-6x)/(x^2+1)^3=(2x(x^2-3))/(x^2+1)^3 $
da cui, limitandosi al caso $ x>=0 $:
$ f''(x)<0 $ per $ 0
$ f''(x)=0 $ per $ x=0 $ e $ x= sqrt(3) $
Ho rifatto il grafico, le linee verdi sono rispettivamente $-sqrt3;sqrt3$....(vedi pagina prima)cmq io ti volevo chiedere anche qualche altra cosa in merito alla funzione perchè la derivata a me viene:$(4x^5-2x^3-4x^2-6x)/(x^+1)^4$ però con ruffini non riesco a trovare il numero che mi annulla il polinomio, quindi avrei intenzione di fare un metodo prefabbricato per semplificare le espressioni come hai fatto tu perchè altriment io non ho quella capacita di pensare come semplificare, cmq te lo chiedo meglio la prox volta. Per quanto concerne la derivata seconda fatta prima(quella sbagliata) scusa ma io continuavo a non notare quell'esponente su $x^2$.
Per il momento mi potresti dare un altra funzione con il valore assoluto che la voglio scrivere su qui una volta eseguita per favore?
Buonaserata
Per il momento mi potresti dare un altra funzione con il valore assoluto che la voglio scrivere su qui una volta eseguita per favore?
Buonaserata
aiuto nonn mi dice piu niente nessuno circa questa funzione
Se la funzione è quella del primo post allora questo è il grafico ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
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