Studio di funzione approssimato
Ho perplessità su questo studio di funzione approssimato che ci è stato assegnato.
"Studia il grafico della seguente funzione: $y=ln(x^2-7x+12)$ ".
Segue come l'ho svolto io.
Il C.E. è $x<3 V x>4$ dunque il dominio è tutto $R$ meno $3<=x<=4$ .
I punti di discontinuità sono $x=3$ e $x=4$ . Non possono essere di I specie (i limiti destro e sinistro della funzione per 3 e 4 dovrebbero essere entrambi finiti e diversi), nè di III specie (i limiti della funzione per 3 e 4 dovrebbero essere finiti innanzitutto). (Questo preambolo è richiesto dalla prof, io l'avrei evitato...)
Comunque, stando ai limiti che ho calcolato, per i punti di discontinuità non esistono limiti nè destro nè sinistro.
Passiamo al segno: la funzione è positiva in $x<3 V x>4$; è negativa in $3
Per le intersezioni con gli assi, per l'asse y abbiamo il punto $A(0;2,5)$ ; per l'asse x i punti $B(4,6;0)$ e $C(2,4;0)$.
Qui di seguito credo di avere madornalmente sbagliato: per i miei calcoli questa funzione non ha nessun asintoto, nè verticale, nè orizzontale, nè obliquo (che oltretutto mi sembra un po' strano sebbene possibile).
Ecco dunque che nel disegnare il grafico approssimato ho difficoltà (sempre che il mio ragionamento e tutti i calcoli siano giusti, cosa di cui dubito molto). Grazie anticipatamente.
"Studia il grafico della seguente funzione: $y=ln(x^2-7x+12)$ ".
Segue come l'ho svolto io.
Il C.E. è $x<3 V x>4$ dunque il dominio è tutto $R$ meno $3<=x<=4$ .
I punti di discontinuità sono $x=3$ e $x=4$ . Non possono essere di I specie (i limiti destro e sinistro della funzione per 3 e 4 dovrebbero essere entrambi finiti e diversi), nè di III specie (i limiti della funzione per 3 e 4 dovrebbero essere finiti innanzitutto). (Questo preambolo è richiesto dalla prof, io l'avrei evitato...)
Comunque, stando ai limiti che ho calcolato, per i punti di discontinuità non esistono limiti nè destro nè sinistro.
Passiamo al segno: la funzione è positiva in $x<3 V x>4$; è negativa in $3
Per le intersezioni con gli assi, per l'asse y abbiamo il punto $A(0;2,5)$ ; per l'asse x i punti $B(4,6;0)$ e $C(2,4;0)$.
Qui di seguito credo di avere madornalmente sbagliato: per i miei calcoli questa funzione non ha nessun asintoto, nè verticale, nè orizzontale, nè obliquo (che oltretutto mi sembra un po' strano sebbene possibile).
Ecco dunque che nel disegnare il grafico approssimato ho difficoltà (sempre che il mio ragionamento e tutti i calcoli siano giusti, cosa di cui dubito molto). Grazie anticipatamente.
Risposte
"TR0COMI":
I punti di discontinuità sono $x=3$ e $x=4$
Hai sbagliato. Vi sono due asintoti verticali per il grafico della funzione.
1) In un punto di discontinuità esiste il limite destro, nell'altro quello sinistro: ci sono asintoti verticali incompleti
2) Confronta la positività con le intersezioni con l'asse x: è evidente che uno dei due calcoli è sbagliato
3) Dovresti cercare almeno massimi e minimi
2) Confronta la positività con le intersezioni con l'asse x: è evidente che uno dei due calcoli è sbagliato
3) Dovresti cercare almeno massimi e minimi
Massimi e minimi non sono richiesti, è per questo che non ho pensato a trovarli.
A questo punto, visto che il mio errore risiede nel calcolo dei limiti, mi dite come avete calcolato $lim_(x->3)(f(x))$? Dev'essere il logaritmo naturale che mi ha fatto impigliare... e lo stesso limite per $x->4$ , per $x->+oo$ e per $x->-oo$?
So che non sono magari procedimenti rapidissimi, ma ve ne sarei grato se me li spiegaste abbastanza nei dettagli.
A questo punto, visto che il mio errore risiede nel calcolo dei limiti, mi dite come avete calcolato $lim_(x->3)(f(x))$? Dev'essere il logaritmo naturale che mi ha fatto impigliare... e lo stesso limite per $x->4$ , per $x->+oo$ e per $x->-oo$?
So che non sono magari procedimenti rapidissimi, ma ve ne sarei grato se me li spiegaste abbastanza nei dettagli.
"TR0COMI":
Massimi e minimi non sono richiesti, è per questo che non ho pensato a trovarli.
A questo punto, visto che il mio errore risiede nel calcolo dei limiti, mi dite come avete calcolato $lim_(x->3)(f(x))$? Dev'essere il logaritmo naturale che mi ha fatto impigliare... e lo stesso limite per $x->4$ , per $x->+oo$ e per $x->-oo$?
So che non sono magari procedimenti rapidissimi, ma ve ne sarei grato se me li spiegaste abbastanza nei dettagli.
Dunque, hai appurato che la funzione esiste per $x < 3$ e per $x > 4$.
Ha senso calcolare il limite per $x -> 3^-$. L'argomento del logaritmo tende a $0^+$, quindi la funzione tende a... (rispondi tu...)
Ha senso anche calcolare il limite per $x -> 4^+$. L'argomento del logaritmo tende a $0^+$, quindi la funzione tende a...
Per quanto riguarda il comportamento della $f$ in un intorno di infinito, vai a calcolare il limite:
$lim_( x -> +oo ) f(x)$
Questo naturalmente coinciderà con il limite calcolato per $ x -> -oo$. Ti è chiaro il perché?
L'argomento del logaritmo tende a 0 dalla destra quindi la funzione tende a $-oo$.
Arrivo al fatto che tende a zero dalla destra sostituendo valori "leggermente" minori di 3, giusto? e poi ricordo il grafico.
Perchè mai $lim_(x-<+oo)f(x)$ dovrebbe coincidere con il limite calcolato per $-oo$ ? il limite per $x->+oo$ della funzione non è forma indeterminata? e pensavo che il limite per x che tende a $-oo$ neppure esistesse... non so neppure io come, ma mi sto incartando, forse in un bicchiere d'acqua.
Arrivo al fatto che tende a zero dalla destra sostituendo valori "leggermente" minori di 3, giusto? e poi ricordo il grafico.
Perchè mai $lim_(x-<+oo)f(x)$ dovrebbe coincidere con il limite calcolato per $-oo$ ? il limite per $x->+oo$ della funzione non è forma indeterminata? e pensavo che il limite per x che tende a $-oo$ neppure esistesse... non so neppure io come, ma mi sto incartando, forse in un bicchiere d'acqua.
Arrivo al fatto che tende a zero dalla destra sostituendo valori "leggermente" minori di 3, giusto?
Concettualmente sì.
Nell'argomento del logaritmo, per $x -> +oo$, hai una forma indeterminata che risolvi raccogliendo la potenza più alta (l'infinito di ordine superiore).
Ottieni, omettendo il segno di limite:
$x^2 ( 1 - 7/x + 12/x^2 )$
Questa cosa qui va ad infinito come $x^2$, ed essendo $x^2$ una funzione pari, $lim_(x -> +oo) x^2 = lim_(x -> -oo) x^2$.
Capito?
Poi basta ricordare il grafico del logaritmo.
Scusa Seneca, invece di dire che $x^2$ è pari, posso dire (empiricamente s'intende) che anche nel caso in cui si "sostituisse" all'interno il meno infinito, sarebbe equivalente al più infinito? Alla fine dunque di asintoti orizzontali non ne esistono, se il limite della funzione per x che tende a un valore infinito ci dà un valore infinito... è così?
Grazie ancora.
Grazie ancora.
"TR0COMI":
posso dire (empiricamente s'intende) che anche nel caso in cui si "sostituisse" all'interno il meno infinito, sarebbe equivalente al più infinito?
Questo non significa niente: sugli infiniti le potenze non sono definite.
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