Studio di funzione a due variabili: radice e valore assoluto
Devo analizzare una funzione a due varibili e studiarne il dominio
Il dubbio che mi viene è come mettere insieme radice e valore assoluto nella soluzione del dominio
Un esempio di funzione è la seguente:
$z =sqrt( (2-|x|)/sqrt(1-|x-y|) )
Sarebbe una radice unica che comprende numeratore e denominatore ma non riesco a scriverla allora ne ho messe due
Mi sapreste aiutare e spiegare come funziona il DOMINIO in questa funzione?
Vi ringrazio
Il dubbio che mi viene è come mettere insieme radice e valore assoluto nella soluzione del dominio
Un esempio di funzione è la seguente:
$z =sqrt( (2-|x|)/sqrt(1-|x-y|) )
Sarebbe una radice unica che comprende numeratore e denominatore ma non riesco a scriverla allora ne ho messe due
Mi sapreste aiutare e spiegare come funziona il DOMINIO in questa funzione?
Vi ringrazio
Risposte
Basta cercare il dominio con i passaggi usuali, con calma
Si parte sempre dalla radice più interna, che per esistere deve contenere un argomento positivo o nullo.
Siccome poi la radice è a denominatore, deve anche essere diversa da 0
$1-|x-y|>0$ $|x-y|<1$
poi si passa alla radice più esterna, il cui argomento deve essere positivo o nullo.
L'argomento è il rapporto tra due quantità, di cui una (il denominatore) è sempre positiva quando esiste.
Perciò per porre l'argomento della radice positivo o nullo basta porre
$2-|x| >= 0$ ,$ |x|<=2$
Quindi imposti il sistema
$\{(|x-y|<1),(|x|<=2):}$
e dovrebbe essere tutto.
i calcoli te li lascio, ti basti sapere che risolvendo le disequazioni in due variabili otterrai delle parti di piano come soluzione.
Si parte sempre dalla radice più interna, che per esistere deve contenere un argomento positivo o nullo.
Siccome poi la radice è a denominatore, deve anche essere diversa da 0
$1-|x-y|>0$ $|x-y|<1$
poi si passa alla radice più esterna, il cui argomento deve essere positivo o nullo.
L'argomento è il rapporto tra due quantità, di cui una (il denominatore) è sempre positiva quando esiste.
Perciò per porre l'argomento della radice positivo o nullo basta porre
$2-|x| >= 0$ ,$ |x|<=2$
Quindi imposti il sistema
$\{(|x-y|<1),(|x|<=2):}$
e dovrebbe essere tutto.
i calcoli te li lascio, ti basti sapere che risolvendo le disequazioni in due variabili otterrai delle parti di piano come soluzione.
"blackbishop13":
Basta cercare il dominio con i passaggi usuali, con calma
Si parte sempre dalla radice più interna, che per esistere deve contenere un argomento positivo o nullo.
Siccome poi la radice è a denominatore, deve anche essere diversa da 0
$1-|x-y|>0$ $|x-y|<1$
poi si passa alla radice più esterna, il cui argomento deve essere positivo o nullo.
L'argomento è il rapporto tra due quantità, di cui una (il denominatore) è sempre positiva quando esiste.
Perciò per porre l'argomento della radice positivo o nullo basta porre
$2-|x| >= 0$ ,$ |x|<=2$
Quindi imposti il sistema
$\{(|x-y|<1),(|x|<=2):}$
e dovrebbe essere tutto.
i calcoli te li lascio, ti basti sapere che risolvendo le disequazioni in due variabili otterrai delle parti di piano come soluzione.
Quindi:
- denominatore basta che sia $> 0$ indipendentemente dalla radice
- numeratore va bene che sia $>= 0$ indipendentemente dal valore assoluto
Poi il grafico sarà basato solamente su i due valori assoluti del sistema, giusto?
$z =sqrt( (2-|x|)/(1-|x-y|) )
La radice è una sola quindi l'esistenza della funzione è $(2-|x|)/(1-|x-y|)>=0$
Bisogna studiare il segno del numeratore e quello del denominatore e poi tracciare nel piano un grafico di studio del segno.
$2-|x|>=0 => |x|<=2 => -2<=x<=2$ che è la striscia di piano compresa tra le due rette $x=-2$ e $x=2$, in questa striscia il fattore è positivo, mentre fuori è negativo
$1-|x-y|>0 => |x-y|<1 => -1 -x-1<-y<1-x =>x-1
rappresentando graficamente il problema sul piano cartesiano si ricava che il radicando è positivo dove i fattori sono entrambi positivi o entrambi negativi
La funzione esiste quindi all'interno del parallelogrammo che contiene l'origine, all'interno dei quattro quadranti che hanno il vertice su uno di quelli del parallelogrammo e sulle rette $x=+-2$ esclusi i punti $(-2, -3)$, $(-2, -1)$, $(2, 1)$ e $(2, 3)$, che sono appunto i quattro vertici del parallelogrammo.
La radice è una sola quindi l'esistenza della funzione è $(2-|x|)/(1-|x-y|)>=0$
Bisogna studiare il segno del numeratore e quello del denominatore e poi tracciare nel piano un grafico di studio del segno.
$2-|x|>=0 => |x|<=2 => -2<=x<=2$ che è la striscia di piano compresa tra le due rette $x=-2$ e $x=2$, in questa striscia il fattore è positivo, mentre fuori è negativo
$1-|x-y|>0 => |x-y|<1 => -1
rappresentando graficamente il problema sul piano cartesiano si ricava che il radicando è positivo dove i fattori sono entrambi positivi o entrambi negativi
La funzione esiste quindi all'interno del parallelogrammo che contiene l'origine, all'interno dei quattro quadranti che hanno il vertice su uno di quelli del parallelogrammo e sulle rette $x=+-2$ esclusi i punti $(-2, -3)$, $(-2, -1)$, $(2, 1)$ e $(2, 3)$, che sono appunto i quattro vertici del parallelogrammo.
Siete stati molto esaurienti 
Vi ringrazio tanto!!
Vi ringrazio tanto!!
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