Studio di funzione

[amarolucano]

Vi chiedo una spiegazione su questo esercizio:
1)Per quali valori di k la funzione f(x)=8ln(1+x)+ke^(x) ha un punto di minimo locale in x=0:
a)k=8
b)nessun valore di k
c)per ogni k
d)k=-8

io ho calcolato f'(0)=8+k e f''(0)=-8+k ; ora se la f(x) ha un minimo in 0 è convessa e f''(0)>0 e allo stesso tempo f'(0)=0 perchè 0 è un punto stazionario.
Perciò dalla f'(0) mi viene k=-8 che sostituito nella f''(0)<0 viene -8+8>0 che nn è vero: sono tentato a dire che la risposta è la b)
Scusate se la mia spiegazione nn è tanto chiara, ma quello che ho scritto è giusto o c'è un metodo migliore per risolverlo?
Grazie

[franced]

"amarolucano":Vi chiedo una spiegazione su questo esercizio:
1)Per quali valori di k la funzione f(x)=8ln(1+x)+ke^(x) ha un punto di minimo locale in x=0:
a)k=8
b)nessun valore di k
c)per ogni k
d)k=-8

io ho calcolato f'(0)=8+k e f''(0)=-8+k ; ora se la f(x) ha un minimo in 0 è convessa e f''(0)>0 e allo stesso tempo f'(0)=0 perchè 0 è un punto stazionario.
Perciò dalla f'(0) mi viene k=-8 che sostituito nella f''(0)<0 viene -8+8>0 che nn è vero: sono tentato a dire che la risposta è la b)
Scusate se la mia spiegazione nn è tanto chiara, ma quello che ho scritto è giusto o c'è un metodo migliore per risolverlo?
Grazie

Prova a sviluppare con Taylor, è un esercizio fatto ad hoc.

Francesco Daddi

[amarolucano]

ho provato a sviluppare con taylor al 2° ordine e f(x)=k+(8+k)x+(8+k)x^(2)
ho calcolato la derivata, l'ho posta >0 e poi k mi si semplifica!!!

[franced]

"amarolucano":ho provato a sviluppare con taylor al 2° ordine e f(x)=k+(8+k)x+(8+k)x^(2)
ho calcolato la derivata, l'ho posta >0 e poi k mi si semplifica!!!

Allora, facciamo il punto:

$8 ln (x) = 8 (x - \frac{x^2}{2} + ...)$

$k e^x = k (1 + x + \frac{x^2}{2} + ...)$

la loro somma è uguale a:

$8 ln (x) + k e^x = 8 (x - \frac{x^2}{2} + ...) + k (1 + x + \frac{x^2}{2} + ...)$

raggruppando i termini simili si ha:

$8 ln (x) + k e^x = k + x (8 + k) + x^2 (\frac{k}{2} - 4)$

Siccome te vuoi un punto di minimo relativo in $x=0$,
basta annullare il termine lineare (cioè il coeff. della $x$):

$8 + k= 0$

otteniamo

$k= - 8$

Ora non abbiamo finito, dobbiamo sostituire questo valore di $k$
nel coeff di $x^2$, ottenendo

$\frac{k}{2} - 4 = \frac{-8}{2} - 4 = -8$

A questo punto possiamo dire davvero che per $k=-8$ si ha un minimo relativo.
La parabola che approssima la funzione è rivolta verso il basso e ha il vertice di ascissa
proprio $x=0$.

Francesco Daddi