STUDIO DI FUNZIONE
Sapreste aiutarmi nello studio di questa funzione?
(dominio, asintoti, derivate, etc...)
(x+4)/(x^2+6x+5)
grazie in anticipo
(dominio, asintoti, derivate, etc...)
(x+4)/(x^2+6x+5)
grazie in anticipo
Risposte
Io ho concluso il terzo anno di liceo scientifico e non ho ancora studiato analisi, ma posso comunque darti una mano.
Il grafico della funzione è:
La funzione è soddisfatta per qualunque x appartenente ad R (si verifica ponendo il denominatore maggiore di 0 e svolgendo la disequazione così ottenuta).
Per gli asintoti devi calcolare il limite per x che tende all'infinito della funzione, per quel che ne so. Comunque, guardando il grafico, direi che gli asintoti sono le rette: y = 0 (il risultato del limite), x = -1 ed x = -5
Derivata prima:
(d/dx) (x+4)/(x^2+6x+5) = - [(x^2+8x+19) / (x^2+6x+5)^2]
Derivata seconda:
(d/dx)^2 (x+4)/(x^2+6x+5) = [2(x^3 + 12x^2 +57x + 94] / (x^2+6x+5)^3
Se c'è qualcun altro che vuole aiutare manu, si faccia avanti (specie il "grande" goblyn!!).
ciao
Modificato da - fireball il 17/07/2003 19:05:47
Il grafico della funzione è:
La funzione è soddisfatta per qualunque x appartenente ad R (si verifica ponendo il denominatore maggiore di 0 e svolgendo la disequazione così ottenuta).
Per gli asintoti devi calcolare il limite per x che tende all'infinito della funzione, per quel che ne so. Comunque, guardando il grafico, direi che gli asintoti sono le rette: y = 0 (il risultato del limite), x = -1 ed x = -5
Derivata prima:
(d/dx) (x+4)/(x^2+6x+5) = - [(x^2+8x+19) / (x^2+6x+5)^2]
Derivata seconda:
(d/dx)^2 (x+4)/(x^2+6x+5) = [2(x^3 + 12x^2 +57x + 94] / (x^2+6x+5)^3
Se c'è qualcun altro che vuole aiutare manu, si faccia avanti (specie il "grande" goblyn!!).
ciao
Modificato da - fireball il 17/07/2003 19:05:47
Dai fire non esagerare... 
Manu, leggendo, verifica i risultati sul grafico di fire
DOMINIO:
Bisogna che il denominatore sia diverso da 0:
x^2 + 6x + 5 = 0
x = -3 +- sqrt(9-5)
che dà come radici -5 e -1.
Quindi il dominio è x diverso da -5 e diverso da -1.
SEGNO:
Num>0 ==> x>-4
Den>0 ==> x<-5 vel x>-1 (il den è una parabola rivolta verso l'alto...)
Quindi, facendo la tabellina dei segni, otteniamo che la funzione è positiva se
-5-1
Per x=-4 la funzione è nulla.
LIMITI
lim[x-->-inf]=0
lim[x-->+inf]=0
perché il den ha grado maggiore del den.
y=0 è quindi asintoto orizzontale
I limiti per x che tende a -5 e -1 sono infiniti perché il den va a 0. In particolare i limiti sx sono -inf e i limiti destri sono +inf.
x=-5 e x=-1 sono quindi asintoti verticali
DERIVATA
y'= [ x^2+6x+5 - (x+4)(2x+6) ] / (den^2) =
= [-x^2-8x-19]/(den^2)
Il dominio della derivata è lo stesso di quello della funzione, quindi non ci sono punti angolosi.
La derivata è positiva quando lo è il numeratore (perché il denominatore è positivo essendo un quadrato):
-x^2-8x-19>0
x^2+8x+19<0
essendo il delta <0 questa rappresenta una parabola sempre positiva. L'ultima disequazione non è mai verificata e quindi la derivata è sempre negativa. La funzione è sempre decrescente, per ogni x appartenente al dominio.
La derivata seconda vale (ometto i conti):
y''=(x^3+12x^2+57x+94)/(den^3)
si annulla per x = -3.36 circa dove c'è un flesso.
Manu, leggendo, verifica i risultati sul grafico di fire
DOMINIO:
Bisogna che il denominatore sia diverso da 0:
x^2 + 6x + 5 = 0
x = -3 +- sqrt(9-5)
che dà come radici -5 e -1.
Quindi il dominio è x diverso da -5 e diverso da -1.
SEGNO:
Num>0 ==> x>-4
Den>0 ==> x<-5 vel x>-1 (il den è una parabola rivolta verso l'alto...)
Quindi, facendo la tabellina dei segni, otteniamo che la funzione è positiva se
-5
Per x=-4 la funzione è nulla.
LIMITI
lim[x-->-inf]=0
lim[x-->+inf]=0
perché il den ha grado maggiore del den.
y=0 è quindi asintoto orizzontale
I limiti per x che tende a -5 e -1 sono infiniti perché il den va a 0. In particolare i limiti sx sono -inf e i limiti destri sono +inf.
x=-5 e x=-1 sono quindi asintoti verticali
DERIVATA
y'= [ x^2+6x+5 - (x+4)(2x+6) ] / (den^2) =
= [-x^2-8x-19]/(den^2)
Il dominio della derivata è lo stesso di quello della funzione, quindi non ci sono punti angolosi.
La derivata è positiva quando lo è il numeratore (perché il denominatore è positivo essendo un quadrato):
-x^2-8x-19>0
x^2+8x+19<0
essendo il delta <0 questa rappresenta una parabola sempre positiva. L'ultima disequazione non è mai verificata e quindi la derivata è sempre negativa. La funzione è sempre decrescente, per ogni x appartenente al dominio.
La derivata seconda vale (ometto i conti):
y''=(x^3+12x^2+57x+94)/(den^3)
si annulla per x = -3.36 circa dove c'è un flesso.
Ah, già... Il fatto è che svolgendo la diseq. avevo scritto x^2 + 5 > 0 trascurando il 6x!! Quanto mi danno fastidio le sviste, soprattutto se si tratta di materie rigorose come la matematica!
Grazie per aver continuato goblyn!
ciao
fireball
Modificato da - fireball il 16/07/2003 18:58:06
Grazie per aver continuato goblyn!
ciao
fireball
Modificato da - fireball il 16/07/2003 18:58:06
Nel frattempo ho visto molte risposte , ma io comunque indico la mia che avevo preparato prima .
Ciao, ecco dunque come si può studiare la funzione :
y=(x+4)/(x^2+6x+5)
Dominio: si devono escludere i valori di x che annullano il
denominatore: x^2+6x+5=0 da cui x= -5 e x=-1.Quindi il dominio è :
(-00,-5)U(-5,-1)U(-1,+00)
Zeri della funzione : x+4=0 da cui x= -4 è zero della funzione,
quindi y(-4)=0
Intersezione con asse y : y(0)= 4/5; nel punto (0,4/5) la curva
interseca l'asse y.
Limiti
per x che tende a +00 : 0+ ( tende a zero da valori positivi)(*)
per x che tende a -00 : 0- ( tende a zero da valori negativi)(*)
(*) non esistono asintoti obliqui
per x che tende a -5+ : +00
per x che tende a -5- : -00
per x che tende a -1+ : +00
per x che tende a -1- : -00
quindi le rette di equazione x=-5 e x=-1 sono asintoti verticali e la
retta y=0 ( l'asse x ) è asintoto orizzontale .
La derivata y'vale : (-x^2-8x-19)/(x^2+6x+5)^2 : il numeratore non si
azzera mai ed è sempre negativo, il denominatore è sempre positivo e
quindi la derivata prima è sempre negativa , quindi la funzione è
sempre decrescente.
Non esistono max e minimi.
A questo punto si può disegnare il grafico e si vede che per un
valore di x compreso circa tra -2 e -4 si ha un flesso : il calcolo
della derivata seconda è un pò complesso però si potrebbe fare ....
ciao
Camillo
Ciao, ecco dunque come si può studiare la funzione :
y=(x+4)/(x^2+6x+5)
Dominio: si devono escludere i valori di x che annullano il
denominatore: x^2+6x+5=0 da cui x= -5 e x=-1.Quindi il dominio è :
(-00,-5)U(-5,-1)U(-1,+00)
Zeri della funzione : x+4=0 da cui x= -4 è zero della funzione,
quindi y(-4)=0
Intersezione con asse y : y(0)= 4/5; nel punto (0,4/5) la curva
interseca l'asse y.
Limiti
per x che tende a +00 : 0+ ( tende a zero da valori positivi)(*)
per x che tende a -00 : 0- ( tende a zero da valori negativi)(*)
(*) non esistono asintoti obliqui
per x che tende a -5+ : +00
per x che tende a -5- : -00
per x che tende a -1+ : +00
per x che tende a -1- : -00
quindi le rette di equazione x=-5 e x=-1 sono asintoti verticali e la
retta y=0 ( l'asse x ) è asintoto orizzontale .
La derivata y'vale : (-x^2-8x-19)/(x^2+6x+5)^2 : il numeratore non si
azzera mai ed è sempre negativo, il denominatore è sempre positivo e
quindi la derivata prima è sempre negativa , quindi la funzione è
sempre decrescente.
Non esistono max e minimi.
A questo punto si può disegnare il grafico e si vede che per un
valore di x compreso circa tra -2 e -4 si ha un flesso : il calcolo
della derivata seconda è un pò complesso però si potrebbe fare ....
ciao
Camillo
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