Studio di funzione (219618)

[marcoxz432]

Mi date una mano a calcolare:

-monotonia e punti di massimo e minimo
-concavità e punti di flesso

delle seguenti funzioni:
f(x)= (x+4)/(9-x^2)
f(x)= (9-x^2)/(x+4)

[mc2]

Ti faccio vedere lo svolgimento per la prima funzione, per l'altra provaci da solo, seguendo l'esempio.

[math]f(x)=\frac{x+4}{9-x^2}[/math]

Il dominio della funzione e` tutto l'insieme dei numeri reali tranne quelli in cui si annulla il denominatore:

[math]9-x^2\neq 0[/math]

quindi

[math]x\neq \pm 3[/math]

.

Nei punti

[math]x=\pm 3[/math]

la funzione non e` definita, e si hanno asintoti verticali.

Il limite per

[math]x\to \pm\infty[/math]

e` 0, quindi c'e` l'asintoto orizzontale

[math]y=0[/math]

Calcoliamo la derivata:

[math]f'(x)=\frac{1\cdot(9-x^2)-(x+4)(-2x)}{(9-x^2)^2}=
\frac{9-x^2+8x+2x^2}{(9-x^2)^2}=
[/math]

[math]=\frac{x^2+8x+9}{(9-x^2)^2}[/math]

Il numeratore di

[math]f'[/math]

si annulla nei punti

[math]x=-4\pm\sqrt{7}[/math]

, il denominatore invece e` sempre positivo (sono sempre da escludere i punti

[math]x=\pm 3[/math]

)


Quindi

[math]\bullet[/math]

la derivata e` positiva (cioe` la funzione e` crescente) per

[math]x3[/math]

[math]f(-4-\sqrt{7})=\frac{-4-\sqrt{7}+4}{9-16-7-8\sqrt{7}}=\frac{1}{8+2\sqrt{7}}[/math]

[math]f(-4+\sqrt{7})=\frac{-4+\sqrt{7}+4}{9-16-7+8\sqrt{7}}=\frac{1}{8-2\sqrt{7}}[/math]

La funzione percio` ha un massimo relativo nel punto

[math]A(-4-\sqrt{7}, \frac{1}{8+2\sqrt{7}})[/math]

, ed ha un minimo relativo in

[math]B(-4+\sqrt{7}, \frac{1}{8-2\sqrt{7}})[/math]

Derivata seconda:

[math]f''(x)=\frac{2(x^3+12x^2+27x+36)}{(9-x^2)^3}[/math]

Il numeratore ha un unico zero reale nel punto

[math]x_C\simeq -9.57[/math]

(si vede con una risoluzione grafica); il denominatore invece e` negativo per

[math]x< -3[/math]

e per

[math]x>3[/math]

, e` positivo per

[math]-3 < x < 3[/math]

.

La derivata seconda quindi e` positiva (concavita` verso l'alto) per

[math]x < x_C[/math]

e per

[math]-3 < x < 3[/math]

, e` negativa (concavita` verso il basso) per

[math]x_c < x < 3[/math]

e per

[math]x > 3[/math]