Studio di funzione
Buonasera, ho problemi con il seguente esercizio:
Nella figura sono rappresentati il grafico della funzione $ f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+x) $
e la retta t, tangente nel punto A di ascissa 1 al grafico di f(x).
1) Determina i parametri a, b, c.
2) Discuti graficamente le soluzioni dell'equazione $ f(x)= k $
Ho cominciato a ragionare così:
Devo trovare un sistema a 3 equazioni con incognite a, b e c.
Prima equazione sostituisco le coordinate di A in f(x) e trovo a+b+c=1
Seconda e terza equazione dovrei usare la tangente e y=1 ma non so come.
Per la m della retta tangente ho fatto:
$ f'(x)=((2ax+b)(x^2+x)-(ax^2+bx+c)(2x+1))/((x^2+x)^2 $
Sostituisco la x di A e viene: $ m=f'(1)=(a-b-3c)/4 $
Qualche aiuto?
Nella figura sono rappresentati il grafico della funzione $ f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+x) $
e la retta t, tangente nel punto A di ascissa 1 al grafico di f(x).
1) Determina i parametri a, b, c.
2) Discuti graficamente le soluzioni dell'equazione $ f(x)= k $
Ho cominciato a ragionare così:
Devo trovare un sistema a 3 equazioni con incognite a, b e c.
Prima equazione sostituisco le coordinate di A in f(x) e trovo a+b+c=1
Seconda e terza equazione dovrei usare la tangente e y=1 ma non so come.
Per la m della retta tangente ho fatto:
$ f'(x)=((2ax+b)(x^2+x)-(ax^2+bx+c)(2x+1))/((x^2+x)^2 $
Sostituisco la x di A e viene: $ m=f'(1)=(a-b-3c)/4 $
Qualche aiuto?
Risposte
$y=1$ è l’asintoto orizzontale, quindi il limite, per $x-> oo$, vale 1
Con la tangente, visto che la retta passa per 2 punti noti, puoi trovarti il suo coefficiente angolare e uguagliarlo a quello che hai ottenuto con l’uso della derivata.
Con la tangente, visto che la retta passa per 2 punti noti, puoi trovarti il suo coefficiente angolare e uguagliarlo a quello che hai ottenuto con l’uso della derivata.
Ah giusto per la tangente! Non avevo proprio visto il punto (3;0)
Per l’asindoto orizzontale invece non capisco come ricavarmi una semplice equazione in a, b e c avendo un limite
Intanto grazie!
Per l’asindoto orizzontale invece non capisco come ricavarmi una semplice equazione in a, b e c avendo un limite
Intanto grazie!
Ci sono arrivata per il limite! Utilizzando la gerarchia degli infiniti mi rimane a=1 perché “vincerebbe” il termine x al quadrato sia al numeratore che al denominatore!
Quindi una volta fatto il sistema mi torna:
a=1; b=-1 e c=1
Per il punto 2) dell’esercizio le soluzioni sarebbero le intersezioni tra la retta y=k e f(x).
Banalmente per k=1 una soluzione, per k>1 due soluzioni. Ma non riesco a scrivere la parte sotto. Consigli? Come si trova il vertice della parabola con la concavità verso il basso del grafico?
Quindi una volta fatto il sistema mi torna:
a=1; b=-1 e c=1
Per il punto 2) dell’esercizio le soluzioni sarebbero le intersezioni tra la retta y=k e f(x).
Banalmente per k=1 una soluzione, per k>1 due soluzioni. Ma non riesco a scrivere la parte sotto. Consigli? Come si trova il vertice della parabola con la concavità verso il basso del grafico?
Adesso che hai l’equazione della funzione puoi calcolarne massimi e minimi e le loro ordinate.
Ho fatto un po' di conti, spero giusti. Il massimo, quello compreso tra -1 e 0, mi viene $((1-sqrt3)/2;-3-2sqrt3)$ mentre il minimo viene $((1+sqrt3)/2;-3+2sqrt3)$. Spero di aver fatto bene i calcoli.
@melia è tutto corretto
Perfetto, anche a me vengono così i massimi e i minimi. Grazie mille!! 
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