Studio di funzione

[anto.tesone1]

Piccolo dubbio che mi è sorto. Quando studiamo la derivata prima per determinare se la funzione è crescente o decrescente stiamo applicando una conseguenza del teorema di langrange.
Per quanto riguarda lo studio delle concavità da dove deriva che lo studio della derivata seconda ci da informazioni Sulla concavità?

[donald_zeka]

Esiste un teorema che dice che se una funzione in $x_0$ è tale che $f'(x_0)=0$ e $f''(x_0)!=0$, allora a seconda che $f''(x_0)$ sia maggiore/minore di $0$, $x_0$ è un punto di minimo/massimo per la funzione.

Adesso considera la definizione di convessità/concavità di una funzione in $x_0$: $f(x)$ è concava/convessa in $x_0$ se in un intorno di $x_0$ risulta che $f(x)$ stia sempre sopra/sotto la retta tangente in $x_0$

La retta tangente in $x_0$ è $g(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Considera ora la funzione $phi(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)$ che rappresenta la differenza tra la funzione $f(x)$ e la retta tangente in $x_0$.

Da qui puoi condurre avanti tu la dimostrazione facendo riferimento al teorema che ti ho enunciato all'inizio:

$phi(x_0)=?$
$phi'(x_0)=?$
$phi''(x_0)=?$