Studio di funzione
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Risposte
Ciao!
Stessa accortezza che ti ho scritto nell'altro post... per favore riscrivi i problemi non appiccicare foto è una regola del forum
Allora, sappiamo che la funzione ha flesso in $F(-1,1)$ quindi sappiamo che li la sua derivata seconda si annulla ma sappiamo anche che $y$ passa per quel punto!!!!
riscrivo la funzione e le sue derivate
$y=ax^4+bx^2+c$
$y'=4ax^3+2bx$
$y''=12ax^2+2b$
imponendo che la curva passi per il flesso abbiamo
$y(1)=a+b+c=1$
imponendo che nel flesso la derivata seconda si annulli abbiamo
$y''(1)=12a+2b=0$
adesso terza condizione: la retta tangente alla curva nel flesso è parallela a quella retta data nel testo... ma allora le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare... allora la derivata prima della y in quel punto deve valere -8 come ti spiegavo nell'altro post (è una cosa molto importante l'hai capita bene???) e abbiamo
$y'(1)=4a+2b=-8$
ora hai un sistema di 3 equazioni in 3 incognite... lo risolvi come devi essere capace a fare e ottieni
$a=-1$
$b=-6$
$c=4$
e quindi la tua curva è
$y=x^4-6x^2+4$
hai capito tutto?
Stessa accortezza che ti ho scritto nell'altro post... per favore riscrivi i problemi non appiccicare foto è una regola del forum
Allora, sappiamo che la funzione ha flesso in $F(-1,1)$ quindi sappiamo che li la sua derivata seconda si annulla ma sappiamo anche che $y$ passa per quel punto!!!!
riscrivo la funzione e le sue derivate
$y=ax^4+bx^2+c$
$y'=4ax^3+2bx$
$y''=12ax^2+2b$
imponendo che la curva passi per il flesso abbiamo
$y(1)=a+b+c=1$
imponendo che nel flesso la derivata seconda si annulli abbiamo
$y''(1)=12a+2b=0$
adesso terza condizione: la retta tangente alla curva nel flesso è parallela a quella retta data nel testo... ma allora le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare... allora la derivata prima della y in quel punto deve valere -8 come ti spiegavo nell'altro post (è una cosa molto importante l'hai capita bene???) e abbiamo
$y'(1)=4a+2b=-8$
ora hai un sistema di 3 equazioni in 3 incognite... lo risolvi come devi essere capace a fare e ottieni
$a=-1$
$b=-6$
$c=4$
e quindi la tua curva è
$y=x^4-6x^2+4$
hai capito tutto?
Ora dovresti studiare la funzione... lo sai fare tu questo passaggio?
Ti dico come aiuto che è una funzione pari e che dovresti avere un massimo in $A(0,4)$ e due minimi in $B(sqrt(3),...)$ e $C(-sqrt(3),...)$ (non ti calcolo le ordinate dei minimi troppo lungo
)
Il resto fallo tu e se riesci posta stavolta una foto del tuo studio
Ti dico come aiuto che è una funzione pari e che dovresti avere un massimo in $A(0,4)$ e due minimi in $B(sqrt(3),...)$ e $C(-sqrt(3),...)$ (non ti calcolo le ordinate dei minimi troppo lungo
)Il resto fallo tu e se riesci posta stavolta una foto del tuo studio
Lo studio della funzione so farlo...grazie mille per l aiuto ...mi scuso ancora per la foto ma avevo già postato il tutto prima per ora sono ancora concentrato sulla altro problema quindi credo che proseguirò domani nella risoluzione di questo quesito
Punto a)
anzitutto devi trovare la retta tangente t di cui parla il testo
Sarà del tipo $y=-8x+q$
e sapendo che passa per $F(1,-1)$ hai $q=7$
quindi la retta t cercata è
$y=-8x+7$
e ora devi vedere dove questa retta interseca la curva
quindi per trovare i punti in comune metti a sistema retta e curva
${(y=x^4-6x^2+4),(y=-8x+7):}$
e hai
$x^4-6x^2+8x-3=0$
applichi Ruffini e hai
$(x-1)(x^3+x^2-5x+3)=0$
riapplichi Ruffini e hai
$(x-1)(x+3)(x^2-2x+1)=0$
da cui le due soluzioni corrispondenti ai punti $F(1,-1)$ e $P(-3,3)$
il primo lo sapevi già il secondo è la soluzione cercata
anzitutto devi trovare la retta tangente t di cui parla il testo
Sarà del tipo $y=-8x+q$
e sapendo che passa per $F(1,-1)$ hai $q=7$
quindi la retta t cercata è
$y=-8x+7$
e ora devi vedere dove questa retta interseca la curva
quindi per trovare i punti in comune metti a sistema retta e curva
${(y=x^4-6x^2+4),(y=-8x+7):}$
e hai
$x^4-6x^2+8x-3=0$
applichi Ruffini e hai
$(x-1)(x^3+x^2-5x+3)=0$
riapplichi Ruffini e hai
$(x-1)(x+3)(x^2-2x+1)=0$
da cui le due soluzioni corrispondenti ai punti $F(1,-1)$ e $P(-3,3)$
il primo lo sapevi già il secondo è la soluzione cercata
Punto b)
le curve di cui parla il testo sono descritte genericamente dalla equazione
$y=ax^4 + bx^2 + c$
che ha derivata
$y'=4ax^3+2bx= x(4ax^2+2b)$
ora come vedi la derivata prima si annulla SEMPRE nel punto di ascissa $x=0$
per cui sei sicuro che per qualunque di quelle curve nel punto $A(0,c)$ hai una tangente orizzontale, cioè un punto la cui derivata prima si annulla
Questo era facile...
le curve di cui parla il testo sono descritte genericamente dalla equazione
$y=ax^4 + bx^2 + c$
che ha derivata
$y'=4ax^3+2bx= x(4ax^2+2b)$
ora come vedi la derivata prima si annulla SEMPRE nel punto di ascissa $x=0$
per cui sei sicuro che per qualunque di quelle curve nel punto $A(0,c)$ hai una tangente orizzontale, cioè un punto la cui derivata prima si annulla
Questo era facile...
Punto c)
Ricapitolando abbiamo per le curve generiche
$y=ax^4+bx^2+c$
$y'=4ax^3+2bx$
$y''=12ax^2+2b$
il testo dice di usare il metodo delle derivate successive e noi lo facciamo...
Il punto $A(0,c)$ è di sicuro come si diceva prima a tangente orizzontale... il metodo delle derivate successive dice che sarà un massimo se la derivata SECONDA in quel punto è negativa, sarà un minimo se è positiva
Quindi hai un massimo in $A(0,c)$ se $b<0$ (che tra parentesi è il caso della tua funzione originale della prima parte dell'esercizio) mentre hai un minimo se $b>0$
Sempre secondo tale metodo avrai invece in $A(0,c)$ un flesso a tangente orizzontale se la derivata seconda è nulla (che ti porta al caso $b=0$) e se la derivata terza (o comunque la prima derivata che incontri di ordine dispari) è diversa da zero.
Siccome le derivate terza e quarta sono
$y'''=24ax$
$y''''=24a$
la condizione per avere il flesso a tangente orizzontale non è soddisfatta perchè la derivata terza si annula nell'origine e la prima derivata a non annullarsi (immaginando per forza di cose $a$ diverso da zero!!!!) è la quarta che è di ordine pari.
Allora la risposta è negativa, non è mai possibile avere flessi a tangente orizzontale
And we have done
ciao!!!
Ricapitolando abbiamo per le curve generiche
$y=ax^4+bx^2+c$
$y'=4ax^3+2bx$
$y''=12ax^2+2b$
il testo dice di usare il metodo delle derivate successive e noi lo facciamo...
Il punto $A(0,c)$ è di sicuro come si diceva prima a tangente orizzontale... il metodo delle derivate successive dice che sarà un massimo se la derivata SECONDA in quel punto è negativa, sarà un minimo se è positiva
Quindi hai un massimo in $A(0,c)$ se $b<0$ (che tra parentesi è il caso della tua funzione originale della prima parte dell'esercizio) mentre hai un minimo se $b>0$
Sempre secondo tale metodo avrai invece in $A(0,c)$ un flesso a tangente orizzontale se la derivata seconda è nulla (che ti porta al caso $b=0$) e se la derivata terza (o comunque la prima derivata che incontri di ordine dispari) è diversa da zero.
Siccome le derivate terza e quarta sono
$y'''=24ax$
$y''''=24a$
la condizione per avere il flesso a tangente orizzontale non è soddisfatta perchè la derivata terza si annula nell'origine e la prima derivata a non annullarsi (immaginando per forza di cose $a$ diverso da zero!!!!) è la quarta che è di ordine pari.
Allora la risposta è negativa, non è mai possibile avere flessi a tangente orizzontale
And we have done
ciao!!!
Questo dovrebbe essere il grafico
Il testo parla di minimi e massimi relativi e credo siano i punti (0,4) per il max e i punti (+-√3 , -5) per quanto riguarda i minimi anche se non capisco perche parla di minimo e massimo relativo
Per quanto riguarda i flessi tropo come punti (-1,-1 ) e (1, -1)
Per quanto riguarda i punti a e b sono perfettamente chiari per il punto c è chiaro però non ho ancora affrontato l argomento delle derivate successive anche se sembra abbastanza semplice .. Grazie mille per avermi dedicato del tempo
SI mi sembra corretto tranne che per una cosa... a sinistra di $-sqrt(3)$ e a destra di $sqrt(3)$ che sono i due minimi sembra che disegni quasi una cuspide e fai una specie di flesso... invece no vai su deciso verso l'alto disegnando due archi di parabola senza cambiare concavità
si parla di massimo relativo in quanto la funzione come vedi dal disegno assume anche valori maggiori di 4... invece i minimi sono assoluti la funzione più giù di così non va
ciao!
si parla di massimo relativo in quanto la funzione come vedi dal disegno assume anche valori maggiori di 4... invece i minimi sono assoluti la funzione più giù di così non va
ciao!
Grazie mille per sicurezza ho controllato anche su internet per il grafico ed è come dici tu sale diretto verso l altro grafico
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