Studio di funzione

[Matty031]

-Buonaseraaaa! in questo studio c'è qualcosa che con torna.... vorrei farlo passo per passo con voi:

$ f(x)= (x-2)^3 log(2-x) $

C. E.: ----> $x<2$

-Intersezioni con gli assi:

per $y=0$ -----> $(x-2)^3 log (2-x)=0$ ----> ($x=2$ non accettabile); $x=1$ quindi $(1,0)$

per $x=0$ ----> $y= -8 log2$ quindi $(0, -2.40)$

-Segno di $f(X)$:

$(x-2)^3 log(2-x) >0$

Che si risolve per $x>2$ e $x<1$ quindi $f(x)>0$ per $x<1; x>2$

Ma non è possibile in quanto la funzione interseca in $y=-2.40$

Cosa ho sbagliato?

[@melia]

Intanto per $x>2 $ la funzione non è né positiva, né negativa perché le condizioni di esistenza dicono che $x<2$ e da 2 in poi la funzione non c'è.
Hai studiato correttamente il segno dei due fattori, ma per trovare il segno del prodotto devi fare il grafico di studio dei segni, quindi
prima di 1 il primo fattore è negativo e il secondo positivo, perciò la funzione prodotto è negativa,
in 1 il primo fattore è negativo e il secondo vale 0, perciò la funzione prodotto è 0,
tra 1 e 2 il primo fattore è negativo e il secondo anche negativo, perciò la funzione prodotto è positiva,
da 2 in poi la funzione non esiste.

[xAle2]

Magari questo disegno ti chiarisce le idee

Chiaramente per $x>2$ la funzione non è definita
Lo so è orrendo ma spero ti aiuti...

[Matty031]

perfetto! ho capito allora io continuo il mio studio di funzione insieme a voi

- Limiti agli estremi del dominio e ricerda degli asintoti:

$limx->-oo f(x) = F.I. ---> D.H. --> {[3(x-2)^2]/-2}/x = -oo $

$limx-> (2^-) f(x) = F.I. ---> D. H. --> {[3(x-2)^2]/-2}/x = 0 $

ricerca asintoto obliquo:

$lim x-> -oo f(x)/x = -oo$ ; quindi niente asintoto obliquo.

- Decrescenza e crescenza:

$f(x)' >0$

$f(x)' = 3(x-2)^2 log(2-x) + (x-2)^3 (-2/x) $

Raccolgo

$(x-2)^2 [3log(2-x)+(-2x+4)/x]$

e poi

[minomic]

Ciao, c'è qualcosa che non va nella derivata. Ecco i passaggi:
\[
f'(x) = 3\left(x-2\right)^2\log\left(2-x\right)+\left(x-2\right)^3\frac{1}{2-x}\left(-1\right)
\] A questo punto puoi notare che \(\frac{1}{2-x}\left(-1\right) = \frac{1}{x-2}\) e semplificare. Dopo aver raccolto ottieni \[
f'(x) = \left(x-2\right)^2\left[3\log\left(2-x\right)+1\right]
\] e ora dovresti riuscire a concludere.

[Matty031]

ma i limiti andavano bene?

[minomic]

"Lukasz91":ma i limiti andavano bene?

Non li avevo guardati, comunque purtroppo no. I risultati sono giusti ma i procedimenti mi sembrano proprio errati.
Il primo non è nemmeno una forma indeterminata perché hai $(-oo) * (+oo) = -oo$.
Per il secondo hai effettivamente una forma indeterminata ma secondo me sbagli ad applicare Hopital. In particolare hai scelto male la funzione da "far girare" e probabilmente hai anche sbagliato la derivata del logaritmo. I passaggi:
\[\large
\frac{\log\left(2-x\right)}{\left(x-2\right)^{-3}} \quad\rightarrow\quad \frac{-\frac{1}{2-x}}{-3\left(x-2\right)^{-4}}
\] \[\large
\frac{1}{-3\left(x-2\right)^{-3}} = \frac{\left(x-2\right)^3}{-3}
\] Quando passi al limite ottieni $0^+$.

[Matty031]

"minomic":[quote="Lukasz91"]ma i limiti andavano bene?

\[\large
\frac{1}{-3\left(x-2\right)^{-3}} = \frac{\left(x-2\right)^3}{-3}
\] Quando passi al limite ottieni $0^+$.[/quote]

Non mi è chiaro quest'ultimo passaggio uhm .

Poi un'altra domanda che non c'entra nulla quella precedente (ma sempre in tema ), perchè il seguente limite fa $-oo$ ?

$limx->oo di log [(x-2)/(3x^2+8)] $

Io procedevo raccogliendo in questo modo $log {[x(1-2/x)]/[3x^2(1-8/x)]}$

Perdonatemi se vi sto rompendo le scatole!

[minomic]

Se il limite è questo \[
\lim_{x\to\infty} \frac{x-2}{3x^2+8}
\] allora il suo risultato non è $-oo$ ma $0$.

[size=150]EDIT [/size]
Ah ok hai aggiunto il logaritmo. Allora sì, è corretto $-oo$. Perché il limite che ho scritto sopra tende a $0^+$ e il $log 0^+$ tende a $-oo$. Se non te lo ricordi, ripassa il grafico di $y=ln x$...

[Matty031]

quindi $log0^-$ tende a $ + oo$ ???

[minomic]

No, $log 0^-$ non esiste. Pensa al dominio del logaritmo...

[Matty031]

Ora è tutto più chiaro. prima di concludere volere rompervi ancora un po con un altro studio di funzione:

stavo fcndo lo studio del segno ma qualcosa non torna

$f(X)=(-x^3+2x^3+x-2)/(x^2-4)$

il numeratore è risolto per: $-12 $

il denominatore per: $ x<2, x>2$

quindi risulta $f(x)>0$ per $-2

Cita

Segnala

[igiul1]

La funzioe che hai scritto è corretta?
Forse volevi scrivere:

$ f(x)=(-x^3+2x^2+x-2)/(x^2-4) $

Se è questa, osserva che dopo aver scomposto il numeratore, se non semplifichi (cosa che non ti conviene), per studiare il segno del numeratore devi studiare il segno del prodotto:
$(x-2)(1-x^2)$

[Matty031]

forse non mi sono spiegato, proprio dopo aver scomposto e studiato il segno mi viene quel risultato che risulta sbagliato ma perchè?

cmq si la funzione è quella che hai detto ora correggo subito

[@melia]

$ f(x)=(-x^3+2x^2+x-2)/(x^2-4) $
Scomponendo numeratore e denominatore la funzione diventa $f(x)=((x-2)(1-x^2))/((x-2)(x+2))$

dopo aver fatto le condizioni di esistenza ${x in RR ^^ x != +-2}$
puoi semplificare la funzione che diventa $f(x)=(1-x^2)/(x+2)$ con lo studio del segno ottieni
$f(x) >0$ per $x< -2 vv -1 $f(x) <0$ per $ -22$

[Matty031]

ma se io non scompongo è un errore?, non dovrebbe uscire lo stesso risultato uhm ?

[Matty031]

Io procedevo così:

scompongo il numeratore: $(-x^2+1)(x-2)$ risolvo ed esce: $ -12$
risolvo il denominatore: $x<-2, x>2$

a questo punto ;




Grazie ancora di tutto e perdonatemi se sono banale!

[igiul1]

$(-x^2+1)(x-2)$ è un prodotto

$-x^2+1>0$ per $-1
$x-2>0$ per $x>2$ (rappresenta graficamente le soluzioni su una linea diversa)

Allora, moltiplicando i segni dei due fattori nei singoli intervalli (scusa ma non so come inserire il disegno):

$(-x^2+1)(x-2)>0$ per $x<-1$ v $1
Spero di essere stato chiaro.