Studio di funzione
Buonasera forum,
Ero intento a fare studi di funzioni random, quando mi capita questa:
$ f(x)= frac{(x^2-2)}{(x^2-4)} $
dal dominio si evince che ci sono due asintoti verticali in $ x=-2 $ e $ x=2 $
ho studiato sia la derivata prima che la seconda, per i massimi, minimi, concavità, punti di flesso eccetera, ma non centrano più di tanto con il mio problema.
Studiando la positività della funzione si ha che la funzione risulta
-positiva negli intervalli: \( ]-\inf ; -2[ \space U \space]- \sqrt{2} ; +\sqrt{2}[\space U \space]+2;+\inf[ \)
-negativa negli intervalli: \(]-2; -\sqrt{2}[\space U \space]+\sqrt{2};+2[\)
il problema sussiste quando devo studiare l'andamento della funzione nell'intorno di \(-2\) da destra e sinistra e nell'intorno di \(2\) sia da destra che da sinistra.
siccome la \(x\) è un quadrato sia al numeratore che al denominatore, il \( \lim_{x\rightarrow -2} f(x) \) da sinistra non dovrebbe essere uguale a quello \( \lim_{x\rightarrow 2} f(x) \) sempre da sinistra? (lo stesso discorso vale anche per il limite alla destra).
Dallo studio della positività invece si capisce che non è così e che i due limiti divergono in modo inverso (uno diverge positivamente l'altro negativamente) ma non riesco a capire perchè.
Qualcuno potrebbe illuminarmi gentilmente? XD
Grazie in anticipo
Ero intento a fare studi di funzioni random, quando mi capita questa:
$ f(x)= frac{(x^2-2)}{(x^2-4)} $
dal dominio si evince che ci sono due asintoti verticali in $ x=-2 $ e $ x=2 $
ho studiato sia la derivata prima che la seconda, per i massimi, minimi, concavità, punti di flesso eccetera, ma non centrano più di tanto con il mio problema.
Studiando la positività della funzione si ha che la funzione risulta
-positiva negli intervalli: \( ]-\inf ; -2[ \space U \space]- \sqrt{2} ; +\sqrt{2}[\space U \space]+2;+\inf[ \)
-negativa negli intervalli: \(]-2; -\sqrt{2}[\space U \space]+\sqrt{2};+2[\)
il problema sussiste quando devo studiare l'andamento della funzione nell'intorno di \(-2\) da destra e sinistra e nell'intorno di \(2\) sia da destra che da sinistra.
siccome la \(x\) è un quadrato sia al numeratore che al denominatore, il \( \lim_{x\rightarrow -2} f(x) \) da sinistra non dovrebbe essere uguale a quello \( \lim_{x\rightarrow 2} f(x) \) sempre da sinistra? (lo stesso discorso vale anche per il limite alla destra).
Dallo studio della positività invece si capisce che non è così e che i due limiti divergono in modo inverso (uno diverge positivamente l'altro negativamente) ma non riesco a capire perchè.
Qualcuno potrebbe illuminarmi gentilmente? XD
Grazie in anticipo
Risposte
Quando ti avvicini a $-2$ da sinistra hai un valore assoluto maggiore di $2$, quindi il denominatore e' positivo; viceversa quando da sinistra ti avvicini a $2$ hai un valore assoluto inferiore a $2$ quindi il denominatore e' negativo.
No, non ho capito...
Quando la $x$ si avvicina a $-2$ da sinistra assumerà valori tipo $-2,1 -> -2,01 -> -2,001$ e così via ... quindi $x^2$ sarà maggiore di $4$ e quindi il denominatore sarà positivo e dato che in quel punto anche il numeratore è positivo la funzione sarà positiva.
Viceversa quando la $x$ si avvicina a $2$ da sinistra assumerà valori tipo $1,9 -> 1,99 -> 1,999$ e così via ... quindi $x^2$ sarà minore di $4$ e quindi il denominatore sarà negativo e dato che in quel punto il numeratore è ancora positivo la funzione sarà negativa.
Chiaro?
Cordialmente, Alex
Viceversa quando la $x$ si avvicina a $2$ da sinistra assumerà valori tipo $1,9 -> 1,99 -> 1,999$ e così via ... quindi $x^2$ sarà minore di $4$ e quindi il denominatore sarà negativo e dato che in quel punto il numeratore è ancora positivo la funzione sarà negativa.
Chiaro?
Cordialmente, Alex
Sisi adesso ho capito 
grazie mille
grazie mille
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