Studio derivata prima...
ciao a tutti devo studuiare il segno della derivata prima della funzione $f(x) = arctg ((x^2-x+|1-2x|)/(x-1))$ separando la funzione mi esce che la derivata prima è:
$ f(x)= {((x^2-2x+2)/(x^4-6x^3+12x^2-8x+2), per x<= 1/2),((x(x-2))/(x^4+2x^3-4x+2), per x>1/2 ):} $
adesso ho un prolema nel trovare le soluzioni del denominatore cioè:
$x^4-6x^3+12x^2-8x+2>=0$
$x^4+2x^3-4x+2>=0$
non sono scomponibili Ruffini e non riesco a capire come si risolvono queste due disequazioni l'unica cosa che mi viene in mente è:
$x^4+12x^2+2>=6x^3+8x$
$x^4+2x^3+2>=4x$
però comunque non è possibile trovare le soluzioni con i soliti metodi, e studiare i relativi grafici non mi sempra possibile perchè già la funzione di partenza deve essere studiata separatamente poi ci sono anche queste e la cosa diventa un casino...
$ f(x)= {((x^2-2x+2)/(x^4-6x^3+12x^2-8x+2), per x<= 1/2),((x(x-2))/(x^4+2x^3-4x+2), per x>1/2 ):} $
adesso ho un prolema nel trovare le soluzioni del denominatore cioè:
$x^4-6x^3+12x^2-8x+2>=0$
$x^4+2x^3-4x+2>=0$
non sono scomponibili Ruffini e non riesco a capire come si risolvono queste due disequazioni l'unica cosa che mi viene in mente è:
$x^4+12x^2+2>=6x^3+8x$
$x^4+2x^3+2>=4x$
però comunque non è possibile trovare le soluzioni con i soliti metodi, e studiare i relativi grafici non mi sempra possibile perchè già la funzione di partenza deve essere studiata separatamente poi ci sono anche queste e la cosa diventa un casino...
Risposte
In entrambi i casi il denominatore viene ottenuto sommando due quadrati; poiché questi sono positivi (o nulli, ma non possono annullarsi contemporaneamente) anche il denominatore è sempre positivo.
come li posso ottenere questi due quadrati??? non riesco a scomporlo....
Non devi ottenerli: li hai già e ti basta lasciarli indicati senza calcolarli. Nella derivata dell'arcotangente (trascuro il resto della tua derivata, concentrandomi solo su quello che ci interessa ora) ottieni una frazione che ne ha un'altra a deniominatore; se quest'altra è $N/D$ (N e D nel tuo caso sono due polinomi) ottieni
$1/(1+(N/D)^2)=(D^2)/(D^2+N^2)$
e vedi bene che il denominatore è una somma di quadrati.
$1/(1+(N/D)^2)=(D^2)/(D^2+N^2)$
e vedi bene che il denominatore è una somma di quadrati.
cioè ad esempio la derivata dell'arcotangente per $ x<= 1/2$ è uguale a: $(x^2-2x+2)/(x^4-6x^3+12x^2-8x+2)$ quindi la frazione la posso scrivere così:
$ (x^2-2x+2)/(x^4-6x^3+12x^2-8x+2)=$ $(x^4-6x^3+12x^2-8x+2)^2/((x^2-2x+2)^2+(x^4-6x^3+12x^2-8x+2)^2)$?????
$ (x^2-2x+2)/(x^4-6x^3+12x^2-8x+2)=$ $(x^4-6x^3+12x^2-8x+2)^2/((x^2-2x+2)^2+(x^4-6x^3+12x^2-8x+2)^2)$?????
No, non intendevo questo. Nel caso che dici la funzione è $f(x)=arctg((x^2-3x+1)/(x-1))$, quindi la derivata è
$f'(x)=1/(1+((x^2-3x+1)/(x-1))^2)*((2x-3)(x-1)-(x^2-3x+1))/((x-1)^2)=$
$=(( x-1)^2)/((x-1)^2+(x^2-3x+1)^2)*(2x^2-2x-3x+3-x^2+3x-1)/((x-1)^2)=$
$=(x^2-2x+2)/((x-1)^2+(x^2-3x+1)^2)$
Evito con cura di fare i calcoli a denominatore e dico invece che il denominatore è sempre positivo perché somma di due quadrati.
$f'(x)=1/(1+((x^2-3x+1)/(x-1))^2)*((2x-3)(x-1)-(x^2-3x+1))/((x-1)^2)=$
$=(( x-1)^2)/((x-1)^2+(x^2-3x+1)^2)*(2x^2-2x-3x+3-x^2+3x-1)/((x-1)^2)=$
$=(x^2-2x+2)/((x-1)^2+(x^2-3x+1)^2)$
Evito con cura di fare i calcoli a denominatore e dico invece che il denominatore è sempre positivo perché somma di due quadrati.
non lo sapevo questo!!! fantastico!!!!....la posso applicare ogni volta questa regola???
Purtroppo capita abbastanza di rado di avere una somma di quadrati ma quando succede puoi sempre dire che i quadrati sono positivi o nulli e quindi lo è anche la loro somma. Devi solo fare attenzione al caso in cui tutti gli addendi si annullano e nell'esempio precedente io ho ragionato così: il primo addendo si annulla solo per $x=1$; sostituendo questo valore nel secondo non trovo zero, quindi nessun valore annulla tutti gli addendi.
nel caso un valore annulli entrambi ovviamente devi escluderlo dalla soluzione.
comunque se un denominatore non è sempre negativo o positivo con buona probabilità, per fini scolastici ci sarà spesso uno zero che ti permette di usare ruffini o qualcosa di simile...
comunque se un denominatore non è sempre negativo o positivo con buona probabilità, per fini scolastici ci sarà spesso uno zero che ti permette di usare ruffini o qualcosa di simile...
Sì, per fini scolastici è quasi certamente così, mentre per fini non scolastici può non essere vero ed obbligare a ragionamenti piuttosto lunghi; non è però il caso che tu te ne preoccupi.
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