Studio del segno di una funzione con disequazione di secondo grado
Salve avrei una domanda, anche se un po' lunga. C'è una cosa che non sono mai riuscito a capire e che vorrei chiarire una volta per tutte.
Supponiamo di dover studiare il segno di una funzione (con il grafico dei segni) e che mi sia richiesto di risolvere una disequazione si secondo grado. Ora, quando ho due soluzioni distinte ($Delta>0$) so come riportare le soluzioni sul grafico dei segni, ma sugli altri due casi ($Delta=0$ e $Delta<0$) non riesco mai a capire cosa fare (linea tratteggiata o continua).
Per questo chiedo:
1) Caso $Delta=0$ (ottengo un solo valore che chiamo $X1$)
a) Il verso della disequazione è $>$. Questo significa che la soluzione è: per ogni $X$ appartenente a $R$, con $XneX1$. Qui devo fare una linea tratteggiata o continua?
b) Il verso è $>=$. La soluzione è: per ogni $X$ appartenente a $R$. Tratteggiata o continua?
c) Il verso è $<$. La soluzione è: impossibile: Tratteggiata o continua?
d) Il verso è $<=$. La soluzione é $X=X1$. Tratteggiata o continua?
2) Caso $Delta<0$
a) Il verso è $>$. Soluzione: per ogni X appartenente a R.
b) Il verso è $>=$. Soluzione: per ogni X appartenente a R.
c) Il verso è $<$. Soluzione: impossibile.
d) Il verso è $<=$. Soluzione: impossibile.
Anche per questi ultimi quattro casi la domanda è: la linea deve essere continua o tratteggiata?
Aiutatemi per favore, questa cosa mi ha sempre messo in crisi. Grazie in anticipo a chi mi risponderà.
Supponiamo di dover studiare il segno di una funzione (con il grafico dei segni) e che mi sia richiesto di risolvere una disequazione si secondo grado. Ora, quando ho due soluzioni distinte ($Delta>0$) so come riportare le soluzioni sul grafico dei segni, ma sugli altri due casi ($Delta=0$ e $Delta<0$) non riesco mai a capire cosa fare (linea tratteggiata o continua).
Per questo chiedo:
1) Caso $Delta=0$ (ottengo un solo valore che chiamo $X1$)
a) Il verso della disequazione è $>$. Questo significa che la soluzione è: per ogni $X$ appartenente a $R$, con $XneX1$. Qui devo fare una linea tratteggiata o continua?
b) Il verso è $>=$. La soluzione è: per ogni $X$ appartenente a $R$. Tratteggiata o continua?
c) Il verso è $<$. La soluzione è: impossibile: Tratteggiata o continua?
d) Il verso è $<=$. La soluzione é $X=X1$. Tratteggiata o continua?
2) Caso $Delta<0$
a) Il verso è $>$. Soluzione: per ogni X appartenente a R.
b) Il verso è $>=$. Soluzione: per ogni X appartenente a R.
c) Il verso è $<$. Soluzione: impossibile.
d) Il verso è $<=$. Soluzione: impossibile.
Anche per questi ultimi quattro casi la domanda è: la linea deve essere continua o tratteggiata?
Aiutatemi per favore, questa cosa mi ha sempre messo in crisi. Grazie in anticipo a chi mi risponderà.
Risposte
$x^2-4x+4>0$
L'equazione associata a questa disequazione ha $Delta=0$ pertanto avrà una sola soluzione (precisamente $x=2$).
Il grafico della funzione associata a questo polinomio di secondo grado è una parabola, con la concavità verso l'alto dato che il coefficiente di $x^2$ è positivo e toccherà l'asse $x$ nel solo punto $x=2$ dato che questa è l'unica soluzione dell'equazione associata; ma non solo, questo è il punto più basso della parabola ovvero il punto in cui la funzione assume il suo valore minimo.
Detto questo cosa ci chiede la disequazione? Ci chiede di determinare per quali valori del dominio (cioè per quali valori della $x$) la nostra funzione è positiva (né nulla né negativa)
Dall'analisi fatta è evidente che la funzione è positiva per tutti i valori reali di $x$ tranne che nel punto $2$ dove è nulla.
Ecco, questo è quello che devi fare, non imparare a memoria una casistica complicata (e peraltro insufficiente dato che devi tener conto ANCHE della funzione, del coefficiente di secondo grado, se è il membro di dx o di sx, ecc. )
IMHO
Cordialmente, Alex
L'equazione associata a questa disequazione ha $Delta=0$ pertanto avrà una sola soluzione (precisamente $x=2$).
Il grafico della funzione associata a questo polinomio di secondo grado è una parabola, con la concavità verso l'alto dato che il coefficiente di $x^2$ è positivo e toccherà l'asse $x$ nel solo punto $x=2$ dato che questa è l'unica soluzione dell'equazione associata; ma non solo, questo è il punto più basso della parabola ovvero il punto in cui la funzione assume il suo valore minimo.
Detto questo cosa ci chiede la disequazione? Ci chiede di determinare per quali valori del dominio (cioè per quali valori della $x$) la nostra funzione è positiva (né nulla né negativa)
Dall'analisi fatta è evidente che la funzione è positiva per tutti i valori reali di $x$ tranne che nel punto $2$ dove è nulla.
Ecco, questo è quello che devi fare, non imparare a memoria una casistica complicata (e peraltro insufficiente dato che devi tener conto ANCHE della funzione, del coefficiente di secondo grado, se è il membro di dx o di sx, ecc. )
IMHO
Cordialmente, Alex
Ti ringrazio della risposta, che però non risolve in alcun modo i miei problemi. Oggi mi trovavo a studiare il segno della funzione $-X^2$. $-X^2>=0$, quindi $X^2<=0$. Soluzione: $X=0$. Non sapevo come riportare questo risultato nel grafico dei segni; quindi non sapevo dire se la funzione fosse positiva o negativa. Ora: mi piacerebbe fare quello che hai detto tu, il problema è che però non sono più alle superiori, non so a memoria i grafici delle funzioni per analizzarli come hai fatto tu e non ho il tempo per impararli, ma nemmeno mi è richiesto; sono all'università e avrei urgente necessità di sapere che linea bisogna mettere nel grafico dei segno nei casi che ho scritto io. in altre parole al momento l'unica cosa che posso fare è imparare a memoria, perchè queste cose non me le spiegherà nessuno e quindi non sarò mai in grado di fare lo stesso ragionamento che hai fatto tu.
QUINDI TI RIPETO: DEVO IMPARARE A MEMORIA PERCHÈ NON HO ALTERNATIVE.
Ripeto, se qualcuno potesse (anzi volesse) aiutarmi mi farebbe un grandissimo favore.
QUINDI TI RIPETO: DEVO IMPARARE A MEMORIA PERCHÈ NON HO ALTERNATIVE.
Ripeto, se qualcuno potesse (anzi volesse) aiutarmi mi farebbe un grandissimo favore.
"SimonSays92":
Ti ringrazio della risposta, che però non risolve in alcun modo i miei problemi. ...
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"SimonSays92":
... in altre parole al momento l'unica cosa che posso fare è imparare a memoria.
Proprio quello che non devi fare ...
La disequazione è questa $-x^2>=0$ ?
Studi l'equazione associata $-x^2=0$ che ha $Delta=0$ quindi una sola soluzione e precisamente $x=0$.
Ha la concavità verso il basso dato che il coefficiente di $x^2$ è negativo quindi la funzione sarà sempre negativa tranne che nel punto $x=0$ dove è nulla.
Cosa ci chiede la nostra disequazione? Dove la funzione è positiva oppure nulla: non è mai positiva ed è nulla nel punto $x=0$.
Punto.
Poi fai come vuoi, ovviamente ...
Cordialmente, Alex
Ma se ti ho appena scritto che non ho il tempo di imparare a fare certi ragionamenti...
Alex, a me servono i segni, ho un esame fra qualche giorno, ma perchè non vuoi aiutarmi, non capisco
Non so più dove sbattere la testa, ho pensato di chiedere aiuto qui e invece di aiutarmi mi complicate la vita
NON HO IL TEMPO DI IMPARARE QUELLO CHE SAI TU, non so più come scrivertelo
Alex, a me servono i segni, ho un esame fra qualche giorno, ma perchè non vuoi aiutarmi, non capisco
Non so più dove sbattere la testa, ho pensato di chiedere aiuto qui e invece di aiutarmi mi complicate la vita
NON HO IL TEMPO DI IMPARARE QUELLO CHE SAI TU, non so più come scrivertelo
"SimonSays92":
Ma se ti ho appena scritto che non ho il tempo di imparare a fare certi ragionamenti...
Alex, a me servono i segni, ho un esame fra qualche giorno, ma perchè non vuoi aiutarmi, non capisco
Non so più dove sbattere la testa, ho pensato di chiedere aiuto qui e invece di aiutarmi mi complicate la vita
NON HO IL TEMPO DI IMPARARE QUELLO CHE SAI TU, non so più come scrivertelo
Giusto!! Questo Alex........uff!
Ti consiglio di imparare a memoria tutto lo scibile matematico (ti ci vorranno 5, massimo 10 minuti) e di non fare alcuno sforzo (che peraltro sarebbe vano, su questo hai ragione) per capirci qualche cosa.
Se la tua facoltà è medicina, spero però di non capitare mai sotto i tuoi ferri.
Va bene mi arrendo, metterò linee a caso (perchè le vostre risposte implicano questo), che vi devo dire. Non riesco a capire perchè non ci arriviate, non sto studiando un esame di matematica, non sapevo il perchè in quel caso ci sia parabola verso il basso, nessuno me l'aveva detto e nessuno me lo dirà. E chissà quante altre cose dovrei sapere che NON HO MODO DI VEDERE DA NESSUNA PARTE, ma se ce l'avessi avuto potete stare tranquilli che non sarei andato a chiedere aiuto su un forum. NESSUNO MI SPIEGHERà NULLA E NON HO MATERIALE A RIGUARDO; ma perchè non lo volete capire? Mi serve semplicemente sapere che linea mettere in quei casi, perchè quello mi è richiesto e quello mi è stato detto di fare a lezione, ma forse è troppo per voi; in ogni caso mi dispiace vedere questa cattiveria, non me l'aspettavo.
Sulle tue convinzioni non mi esprimo più, ho già detto abbastanza ... qui puoi trovare delle tabelle che spero ti siano utili ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"SimonSays92":
... ho un esame fra qualche giorno ...
Dovresti rimandarlo. Non è concepibile che tu possa avere lacune così gravi a pochi giorni da un esame universitario. Insomma, sorge il dubbio che tu nemmeno sappia quale sia lo scopo di una disequazione. Senz'altro più importante del saperla risolvere.
"anonymous_0b37e9":
[quote="SimonSays92"]
... ho un esame fra qualche giorno ...
Dovresti rimandarlo. Non è concepibile che tu possa avere lacune così gravi a pochi giorni da un esame universitario. Insomma, sorge il dubbio che tu nemmeno sappia quale sia lo scopo di una disequazione. Senz'altro più importante del saperla risolvere.[/quote]
Ma tu che ne sai dell'esame che sto facendo e dell'importanza (praticamente pari a 0) che le disequazioni hanno in esso. Sono sconvolto, davvero, non mi aspettavo tanto accanimento.
Hai provato a rappresentare graficamente delle parabole stilizzate e vedere il segno dell'ordinata?
Ti bastano
1) le intersezioni con l'asse x
2) il segno del termine di secondo grado per capire da che parte è girata la parabola
Ti bastano
1) le intersezioni con l'asse x
2) il segno del termine di secondo grado per capire da che parte è girata la parabola
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