Studio dei sistemi lineari
Ciao
Chiedo aiuto per risolvere i seguenti sistemi ricordando che quelli che seguiranno non saranno solo esercizi puramente matematici ma anche applicati al settore che sto studiando....elettrotecnica.
Ho trovato un mio personalissimo metodo per commutare delle incognite e dei parametri con un nome semplificato rispetto a quello che ne uscirebbe da una semplificazione di una rete...spero che alla fine la soluzione sia la stessa.
In pratica vorrei risolvere il sistema impostando le varie soluzioni senza usare i valori numerici, alla fine applicare le opportune sostituzioni e trovare il risultato.
Faccio un esempio con i seguenti dati.
L'argomento è la risoluzione di una rete attraverso il metodo di kirchhoff.
Prendete per corrette le impostazioni delle equazioni ( perché lo sono
) quello che chiedo è se i passaggi sono corretti.
DATI del problema in un sistema in corrente continua:
Le tensioni ai generatori:
$r=E12=5$
$s=E3=30$
$t=E4=10$
Le Resistenze:
$a=R14=11$
$b=R23=1.667$ purtroppo mi tocca usare 3 decimali arrotondati per la soluzione del problema!
$c=R59=18.5$
Le correnti incognite:
$x=I1=?$
$y=I2=?$
$z=I3=?$
Come ho accennato sopra i vari nomi li ho sostituiti con altri più semplici da utilizzare, quindi la corrente $I1$ diventa l'incognita $x$, ma penso che si capisca.
Riscrivendola qua ho trovato alcuni errori e forse ora è corretta, di fatto avevo fatto un erroraccio al terzultimo sistema nella seconda equazione perché non avevo moltiplicato tutte le somme per $c$, spero che ora sia corretto sotto questo aspetto....i dati numerici li terminerò domani, ora sono cotto
$ {( x=y+z ),( r-s=ax+by ),( -t-s=by-cz ):} $
$ {( x=y+z ),( r-s=a(y+z )+by ),( -t-s=by-cz ):} $
$ {( x=y+z ),( r-s=ay+az+by ),(z=(by+s+t)/c):} $
$ {( x=y+z ),( r-s=ay+a(by+s+t)/c+by ),(z=(by+s+t)/c):} $
$ {( x=y+z ),( r-s=ay+by+(aby+as+at)/c),(z=(by+s+t)/c):} $
$ {( x=y+z ),( c(r-s)=cay+cby+((aby+as+at)/c)c),(z=(by+s+t)/c):} $
$ {( x=y+z ),(c(r-s)=y(ca+b(c+a))+as+at),(z=(by+s+t)/c):} $
$ {( x=y+z ),( y=(c(r-s)-a(t+s))/(ca+b(c+a))),(z=(by+s+t)/c):} $
l'ultima $y$ non l'ho sostituita peché mi conviene fare il calcolo prima e poi metterci il risultato.
Ho dovuto fare una correzione, ho cambiato di segno alla $t$ quindi gli interventi non miei successivi se non corretti sono diversi.
Chiedo aiuto per risolvere i seguenti sistemi ricordando che quelli che seguiranno non saranno solo esercizi puramente matematici ma anche applicati al settore che sto studiando....elettrotecnica.
Ho trovato un mio personalissimo metodo per commutare delle incognite e dei parametri con un nome semplificato rispetto a quello che ne uscirebbe da una semplificazione di una rete...spero che alla fine la soluzione sia la stessa.
In pratica vorrei risolvere il sistema impostando le varie soluzioni senza usare i valori numerici, alla fine applicare le opportune sostituzioni e trovare il risultato.
Faccio un esempio con i seguenti dati.
L'argomento è la risoluzione di una rete attraverso il metodo di kirchhoff.
Prendete per corrette le impostazioni delle equazioni ( perché lo sono
) quello che chiedo è se i passaggi sono corretti.DATI del problema in un sistema in corrente continua:
Le tensioni ai generatori:
$r=E12=5$
$s=E3=30$
$t=E4=10$
Le Resistenze:
$a=R14=11$
$b=R23=1.667$ purtroppo mi tocca usare 3 decimali arrotondati per la soluzione del problema!
$c=R59=18.5$
Le correnti incognite:
$x=I1=?$
$y=I2=?$
$z=I3=?$
Come ho accennato sopra i vari nomi li ho sostituiti con altri più semplici da utilizzare, quindi la corrente $I1$ diventa l'incognita $x$, ma penso che si capisca.
Riscrivendola qua ho trovato alcuni errori e forse ora è corretta, di fatto avevo fatto un erroraccio al terzultimo sistema nella seconda equazione perché non avevo moltiplicato tutte le somme per $c$, spero che ora sia corretto sotto questo aspetto....i dati numerici li terminerò domani, ora sono cotto
$ {( x=y+z ),( r-s=ax+by ),( -t-s=by-cz ):} $
$ {( x=y+z ),( r-s=a(y+z )+by ),( -t-s=by-cz ):} $
$ {( x=y+z ),( r-s=ay+az+by ),(z=(by+s+t)/c):} $
$ {( x=y+z ),( r-s=ay+a(by+s+t)/c+by ),(z=(by+s+t)/c):} $
$ {( x=y+z ),( r-s=ay+by+(aby+as+at)/c),(z=(by+s+t)/c):} $
$ {( x=y+z ),( c(r-s)=cay+cby+((aby+as+at)/c)c),(z=(by+s+t)/c):} $
$ {( x=y+z ),(c(r-s)=y(ca+b(c+a))+as+at),(z=(by+s+t)/c):} $
$ {( x=y+z ),( y=(c(r-s)-a(t+s))/(ca+b(c+a))),(z=(by+s+t)/c):} $
l'ultima $y$ non l'ho sostituita peché mi conviene fare il calcolo prima e poi metterci il risultato.
Ho dovuto fare una correzione, ho cambiato di segno alla $t$ quindi gli interventi non miei successivi se non corretti sono diversi.
Risposte
ma kirchhoff non è difficile (soprattutto in continua) secondo me ti vuoi complicare la vita...poi un circuito se non è disegnato non si capisce molto perchè bisogna vedere dove si trovano le resistenze, se le resistenze sono in serie , in parallelo, dove si trovano i generatori, se sono in serie o in parallelo, sono generatori di tensione?, di corrente?...sia di tensione che di corrente?
secondo me se li lasci i nomi standard riesci a capirci meglio tipo ($R1 , R2 , R3$ ecc... per le resistenze $I1 , I2 , I3$ per le correnti $E1, E2,$ ecc... per i generatori di tensione ecc... ecc...)
comunque se non si ha il circuito d'avanti non si può sapere che bisogna fare...proprio perchè da come sono inseriti nel circuito le operazioni da svolgere cambiano...
secondo me se li lasci i nomi standard riesci a capirci meglio tipo ($R1 , R2 , R3$ ecc... per le resistenze $I1 , I2 , I3$ per le correnti $E1, E2,$ ecc... per i generatori di tensione ecc... ecc...)
comunque se non si ha il circuito d'avanti non si può sapere che bisogna fare...proprio perchè da come sono inseriti nel circuito le operazioni da svolgere cambiano...
Ciao, non ho chiesto se l'impostazione del sistema è corretto, mi interessava sapere se è corretto il sistema che ho svolto.
Comunque sia entro fine settimana vedrò di postare tutto il circuito, ma come detto sopra dovrebbe essere corretto....unica cosa che mi darà dei dubbi è se il risultato sarà negativo, in tal caso se non ho capito male mi basta cambiare verso alla corrente sulla rete, almeno questo era quello che mi ha detto il prof a scuola, ma quando l'ho chiesto si riferiva ad un'altra rete che era solo in serie e quindi un solo valore da correggere....quindi il dilemma al riguardo cresce.
Per quanto riguarda la sostituzione delle lettere a me sembra che il tutto risulti più pulito soprattutto quando lo si va a scrivere a mano su carta, il rischio di confondersi tra i numeri e le varie cosa cresce parecchio....il prof addirittura me lo risolve sostituendo subito le lettere con i valori, ma per me diventerebbe un suicidio....forse è solo questione di abitudine, non so.
I generatori di corrente non sono presenti anche perché, come si nota, le correnti sono tutte incognite.
Per il resto il facile e il difficile dipende da che livello ti trovi, so che ci sono altri sistemi più rapidi o comunque più avanzati ma per ora devo usare questo.
Comunque sia entro fine settimana vedrò di postare tutto il circuito, ma come detto sopra dovrebbe essere corretto....unica cosa che mi darà dei dubbi è se il risultato sarà negativo, in tal caso se non ho capito male mi basta cambiare verso alla corrente sulla rete, almeno questo era quello che mi ha detto il prof a scuola, ma quando l'ho chiesto si riferiva ad un'altra rete che era solo in serie e quindi un solo valore da correggere....quindi il dilemma al riguardo cresce.
Per quanto riguarda la sostituzione delle lettere a me sembra che il tutto risulti più pulito soprattutto quando lo si va a scrivere a mano su carta, il rischio di confondersi tra i numeri e le varie cosa cresce parecchio....il prof addirittura me lo risolve sostituendo subito le lettere con i valori, ma per me diventerebbe un suicidio....forse è solo questione di abitudine, non so.
I generatori di corrente non sono presenti anche perché, come si nota, le correnti sono tutte incognite.
Per il resto il facile e il difficile dipende da che livello ti trovi, so che ci sono altri sistemi più rapidi o comunque più avanzati ma per ora devo usare questo.
per ora mi limito a postare l'immagine dell'impianto completo, ma è da semplificare prima di applicare kirchhoff 
i dati mi sembra ci siano tutti.
riguardo il metodo applicato per costruire le equazioni ho usato quello che fa riferimento al verso delle correnti per la tensione sui resistori e quello delle tensioni sui generatori, quindi col primo giro di maglia ho fatto le tensioni al primo membro, col secondo ho fatto quelle sui resistori al secondo membro.
l'altro modo sarebbe quello di seguire il verso delle tensioni ma le l'equazioni sarebbero scritte in modo diverso da come le ho impostate io ottenendo comunque lo stesso risultato, del tipo $abcd=0$ invece di $abcd=sdo$
http://i56.tinypic.com/spvhh0.png
i dati mi sembra ci siano tutti.
riguardo il metodo applicato per costruire le equazioni ho usato quello che fa riferimento al verso delle correnti per la tensione sui resistori e quello delle tensioni sui generatori, quindi col primo giro di maglia ho fatto le tensioni al primo membro, col secondo ho fatto quelle sui resistori al secondo membro.
l'altro modo sarebbe quello di seguire il verso delle tensioni ma le l'equazioni sarebbero scritte in modo diverso da come le ho impostate io ottenendo comunque lo stesso risultato, del tipo $abcd=0$ invece di $abcd=sdo$
http://i56.tinypic.com/spvhh0.png
Non ho seguito tutti i tuoi calcoli, ma il risultato che dai per $y$ è giusto; ovviamente, devi poi sostituirlo nelle altre equazioni. Io ho risolto il sistema in modo più veloce, mettendo le equazioni nell'ordine seconda, terza, prima.
${(r-s-by=ax),(cz=by-t+s),(x=y+z):}$
${(x=(r-s-by)/a),(z=(by-t+s)/c),((r-s-by)/a=y+(by-t+s)/c):}$
Risolvo ora l'ultima equazione, che contiene solo l'incognita $y$; poi sostituirò nelle altre due. Come vedi, ho sveltito i calcoli ricavando contemporaneamente due incognite; è lecito (e consigliabile) farlo, ma solo se nella formula a secondo membro di ciascuna di esse non compare l'altra incognita. Ad esempio, se avessi usato per prima l'equazione $x=y+z$, non avrei potuto calcolare contemporaneamente né $y$ né $z$, pena il fare calcoli inutili e inconcludenti.
Se non vuoi usare decimali arrotondati, puoi sostituirli con le frazioni: $b=5/3$ e $c=37/2$.
${(r-s-by=ax),(cz=by-t+s),(x=y+z):}$
${(x=(r-s-by)/a),(z=(by-t+s)/c),((r-s-by)/a=y+(by-t+s)/c):}$
Risolvo ora l'ultima equazione, che contiene solo l'incognita $y$; poi sostituirò nelle altre due. Come vedi, ho sveltito i calcoli ricavando contemporaneamente due incognite; è lecito (e consigliabile) farlo, ma solo se nella formula a secondo membro di ciascuna di esse non compare l'altra incognita. Ad esempio, se avessi usato per prima l'equazione $x=y+z$, non avrei potuto calcolare contemporaneamente né $y$ né $z$, pena il fare calcoli inutili e inconcludenti.
Se non vuoi usare decimali arrotondati, puoi sostituirli con le frazioni: $b=5/3$ e $c=37/2$.
ciao e grazie per le risposte!
Ancora non ho dimestichezza con i sistemi, ho fatto pochissimi esercizi e ho letto solo una volta l'intero capitolo, poi l'ho iniziato di nuovo un mesetto dopo.
Quello che mi entra meno in testa è il principio della riduzione e la sua effettiva utilità, guardando gli esempi sui libri sembra che aumenti le cose da scrivere piuttosto che ridurle, ma vedrò di rivedere meglio questa parte.
Cramer me lo devo rileggere tutto sperando che ci possa ricavare un'ulteriore semplificazione su queste equazioni...apparentemente sembra di si, ma devo provare, in caso contrario diventerebbe un ulteriore consumo di risorse mnemoniche che poi non danno profitti utili anche perché, da quello che ho capito, in seguito le reti si risolveranno con altri metodi proprio perché con kirchhoff il numero di equazioni in un sistema aumenta parecchio aumentando di poco la complessità della rete; basta aggiungere un lato per trovarsi due o tre equazioni in più da risolvere.
In un altro caso (delle videolezioni su interent) ho visto che usavano le matrici, forse un sistema simile a Cramer, ma non ho il libro che parla di questo argomento quindi per ora me lo risparmio.
In serata vedo di finere il tutto.
CIao.
Ancora non ho dimestichezza con i sistemi, ho fatto pochissimi esercizi e ho letto solo una volta l'intero capitolo, poi l'ho iniziato di nuovo un mesetto dopo.
Quello che mi entra meno in testa è il principio della riduzione e la sua effettiva utilità, guardando gli esempi sui libri sembra che aumenti le cose da scrivere piuttosto che ridurle, ma vedrò di rivedere meglio questa parte.
Cramer me lo devo rileggere tutto sperando che ci possa ricavare un'ulteriore semplificazione su queste equazioni...apparentemente sembra di si, ma devo provare, in caso contrario diventerebbe un ulteriore consumo di risorse mnemoniche che poi non danno profitti utili anche perché, da quello che ho capito, in seguito le reti si risolveranno con altri metodi proprio perché con kirchhoff il numero di equazioni in un sistema aumenta parecchio aumentando di poco la complessità della rete; basta aggiungere un lato per trovarsi due o tre equazioni in più da risolvere.
In un altro caso (delle videolezioni su interent) ho visto che usavano le matrici, forse un sistema simile a Cramer, ma non ho il libro che parla di questo argomento quindi per ora me lo risparmio.
In serata vedo di finere il tutto.
CIao.
DATI del problema in un sistema in corrente continua:
Le tensioni ai generatori:
$r=E12=5$
$s=E3=30$
$t=E4=10$
Le Resistenze:
$a=R14=11$
$b=R23=1.667$ purtroppo mi tocca usare 3 decimali arrotondati per la soluzione del problema!
$c=R59=18.5$
Le correnti incognite:
$x=I1=?$
$y=I2=?$
$z=I3=?$
$ {( x=y+z ),( y=(c(r-s)-a(t+s))/(ca+b(c+a))),(z=(by+s+t)/c):} $
$ {( x=y+z ),( y=(18.5(5-30)-11(10+30))/(18.5*11+5/3(18.5+11))),(z=(5/3y+30+10)/18.5):} $
$ {( x=y+z ),( y=(-902.5)/(252.667)),(z=(5/3y+20)/18.5):} $
$ {( x=-3.572+0.759 ),( y=-3.572),(z=(14.047)/18.5):} $
$ {( x=-2.813),( y=-3.572),(z=0.759):} $
due valori sono negativi ma I1 secondo l'interpretazione grafica doveva essere positivo...mah.
ora penso e spero sia a posto
Le tensioni ai generatori:
$r=E12=5$
$s=E3=30$
$t=E4=10$
Le Resistenze:
$a=R14=11$
$b=R23=1.667$ purtroppo mi tocca usare 3 decimali arrotondati per la soluzione del problema!
$c=R59=18.5$
Le correnti incognite:
$x=I1=?$
$y=I2=?$
$z=I3=?$
$ {( x=y+z ),( y=(c(r-s)-a(t+s))/(ca+b(c+a))),(z=(by+s+t)/c):} $
$ {( x=y+z ),( y=(18.5(5-30)-11(10+30))/(18.5*11+5/3(18.5+11))),(z=(5/3y+30+10)/18.5):} $
$ {( x=y+z ),( y=(-902.5)/(252.667)),(z=(5/3y+20)/18.5):} $
$ {( x=-3.572+0.759 ),( y=-3.572),(z=(14.047)/18.5):} $
$ {( x=-2.813),( y=-3.572),(z=0.759):} $
due valori sono negativi ma I1 secondo l'interpretazione grafica doveva essere positivo...mah.
ora penso e spero sia a posto
"Emanuelehk":
$ {( x=-2.701+ (-0.838) ),( y=-2.701),(z=(15.498)/18.5):} $
$ {( x=-3.539),( y=-2.701),(z=-0.838):} $
mi risultano tutte negative
Fai attenzione che $z=(15.498)/18.5$ viene positiva
Quindi devi poi rivedere il calcolo di $x$
Con $y$ mi trovo.
Un buon metodo (efficiente) per risolvere i sistemi (lasciando fare i conti al calcolatore..) è il metodo di eliminazione di Gauss.
Puoi anche usare Excel, almeno per verificare i risultati, utilizzando le matrici, ma non so se le hai studiate.
Riguardando lo schema sul quaderno ho visto un errore!
provo a reimpostare tutto e vedo che risultato esce!
uffa!
provo a reimpostare tutto e vedo che risultato esce!
uffa!
"cenzo":
[quote="Emanuelehk"]
$ {( x=-2.701+ (-0.838) ),( y=-2.701),(z=(15.498)/18.5):} $
$ {( x=-3.539),( y=-2.701),(z=-0.838):} $
mi risultano tutte negative
Fai attenzione che $z=(15.498)/18.5$ viene positiva
Quindi devi poi rivedere il calcolo di $x$
Con $y$ mi trovo.
Un buon metodo (efficiente) per risolvere i sistemi (lasciando fare i conti al calcolatore..) è il metodo di eliminazione di Gauss.
Puoi anche usare Excel, almeno per verificare i risultati, utilizzando le matrici, ma non so se le hai studiate.[/quote]
Grazie del consiglio ma dovrei prepararmi un foglio di calcolo e ora del tempo di imparare come costruire un sistema su calc non ce l'ho, sul libro di matematica comunque sia ho notato che mi dicono come farlo.
In effetti c'è un errore, ho dimentica un segno quando ho sostituito $y$ ma se $y$ è corretto allora torna negativo, ora correggo.
l'errore più grosso è sull'impostazione delle equazioni, ho messo un verso errato su un generatore, non sul disegno che ho postato ma quando l'ho costruito sul quaderno.
Ora dovrebbe essere giusto.
"cenzo":
[quote="Emanuelehk"]
$ {( x=-2.701+ (-0.838) ),( y=-2.701),(z=(15.498)/18.5):} $
$ {( x=-3.539),( y=-2.701),(z=-0.838):} $
mi risultano tutte negative
Fai attenzione che $z=(15.498)/18.5$ viene positiva
Quindi devi poi rivedere il calcolo di $x$
Con $y$ mi trovo.
Un buon metodo (efficiente) per risolvere i sistemi (lasciando fare i conti al calcolatore..) è il metodo di eliminazione di Gauss.
Puoi anche usare Excel, almeno per verificare i risultati, utilizzando le matrici, ma non so se le hai studiate.[/quote]
dopo l'ennesima volta che ho guardato avevi ragione te, non ho fatto bene i conti sommando il 20....il problema è che in certi casi uso la calcolatrice ma poi mi dimentico il segno e non lo metto.
La prossima volta prima di postare ricontrollerò meglio, altrimenti correggo decine di volte la stessa cosa.
ciao.
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