Studi di funzioni razionali fratte
Buonasera
Ho tentato di studiare la seguente funzione:
Y=(x^3-5x)fratto (2x+1). L'asintoto prizzontale mi viene uguale a 0. È possibile? Non riesco a postare lo svolgimento, mi dà error
Grazie infinite per l'aiuto
Aggiunto 51 secondi più tardi:
Il disegno al solito non mi viene
Aggiunto 8 minuti più tardi:
Sarei molto grata a chi mi correggesse quest'altro esercizio grazie infinite
Ho tentato di studiare la seguente funzione:
Y=(x^3-5x)fratto (2x+1). L'asintoto prizzontale mi viene uguale a 0. È possibile? Non riesco a postare lo svolgimento, mi dà error
Grazie infinite per l'aiuto
Aggiunto 51 secondi più tardi:
Il disegno al solito non mi viene
Aggiunto 8 minuti più tardi:
Sarei molto grata a chi mi correggesse quest'altro esercizio grazie infinite
Risposte
PRIMO STUDIO DI FUNZIONE
Data la funzione
essa presenta insieme di definizione
Dal momento che
ne consegue che il grafico di
il segno di
ne consegue che
positiva per
Per quanto concerne lo studio di
da cui segue che
asintoti obliqui. In particolare, essendo
si deduce che
È il momento quindi di studiare il segno di
da cui segue che
presenta un punto di minimo relativo
per
Infine, per quanto concerne lo studio del segno di
da cui segue che
un punto di flesso
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
SECONDO STUDIO DI FUNZIONE
Data la funzione
essa presenta insieme di definizione
Dal momento che
ne consegue che il grafico di
dato che si ha
ne consegue che
è positiva per
Per quanto concerne lo studio di
da cui segue che
asintoti obliqui. In particolare, essendo
si deduce che
È il momento quindi di studiare il segno di
da cui segue che
Infine, per quanto concerne lo studio del segno di
da cui segue che
per
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
Nota: essendo
il cui grafico è simmetrico rispetto all'origine, quindi si sarebbe potuto studiare
TERZO STUDIO DI FUNZIONE
Data la funzione
essa presenta insieme di definizione
Dal momento che
ne consegue che il grafico di
il segno di
ne consegue che
Per quanto concerne lo studio di
da cui segue che
presenta un asintoto orizzontale di equazione cartesiana
È il momento quindi di studiare il segno di
da cui segue che
relativo per
re anche un minimo assoluto per
Infine, per quanto concerne lo studio del segno di
da cui segue che
flesso
senta un punto di flesso
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
Nota: essendo
cui grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, quindi si sarebbe po-
tuto studiare
Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
Data la funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da[math]f(x) := \frac{x^3-5\,x}{2\,x + 1}\,,\\[/math]
essa presenta insieme di definizione
[math]I_f := \left\{ x \in \mathbb{R} : x \ne - \frac{1}{2} \right\} \; .\\[/math]
Dal momento che
[math]f(0) = 0\,, \; \; \; f(x) = 0 \; \Leftrightarrow \; x = 0 \, \vee \, x = \pm \sqrt{5}\\[/math]
ne consegue che il grafico di
[math]f[/math]
interseca gli assi cartesiani nei punti [math]A(-\sqrt{5},\,0)[/math]
, [math]O(0,\,0)[/math]
, [math]B(\sqrt{5},\,0)[/math]
, mentre per quanto riguarda il segno di
[math]f\\[/math]
, dato che si ha [math]f(x) > 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x < -\sqrt{5} \, \vee \, -\frac{1}{2} < x < 0 \, \vee x > \sqrt{5}\\[/math]
ne consegue che
[math]f[/math]
è negativa per [math]-\sqrt{5} < x < -\frac{1}{2} \, \vee \, 0 < x < \sqrt{5}[/math]
, positiva per
[math]x < -\sqrt{5} \, \vee \, -\frac{1}{2} < x < 0 \, \vee \, x > \sqrt{5}\\[/math]
.Per quanto concerne lo studio di
[math]f\\[/math]
ai limiti del proprio dominio, si ha [math]\begin{aligned} & \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\,, \; \; \lim_{x \to \left(-\frac{1}{2}\right)^-} f(x) = -\infty\,, \\ & \lim_{x \to \left(-\frac{1}{2}\right)^+} f(x) = +\infty\,, \; \; \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\,, \end{aligned}\\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
presenta un asintoto verticale di equazione cartesiana [math]x = -\frac{1}{2}[/math]
e non presenta asintoti orizzontali; può essere che [math]f[/math]
ammetta asintoti obliqui. In particolare, essendo
[math]\begin{aligned}
m_1 \overset{?}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = -\infty\,, \; \; m_2 \overset{?}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty\end{aligned}\\[/math]
m_1 \overset{?}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = -\infty\,, \; \; m_2 \overset{?}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty\end{aligned}\\[/math]
si deduce che
[math]f\\[/math]
non ammette nemmeno asintoti obliqui.È il momento quindi di studiare il segno di
[math]f'[/math]
in [math]I_f\\[/math]
:[math]f'(x) = \frac{4\,x^3 + 3\,x^2 - 5}{(2\,x + 1)^2} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x \ge 0.877\\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
è decrescente per [math]x < -\frac{1}{2}\, \vee \, -\frac{1}{2} < x < 0.877[/math]
, presenta un punto di minimo relativo
[math]M[/math]
per [math]x = 0.877[/math]
, è crescente per
[math]x > 0.877\\[/math]
.Infine, per quanto concerne lo studio del segno di
[math]f''[/math]
in [math]I_f\\[/math]
:[math]f''(x) = \frac{2\left(4\,x^3 + 6\,x^2 + 3\,x + 10\right)}{(2\,x + 1)^3} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x \le -1.834 \, \vee \, x > -\frac{1}{2}\\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
è convessa per [math]x < -1.834 \, \vee \, x > -\frac{1}{2}[/math]
, presenta un punto di flesso
[math]\small F[/math]
per [math]\small x = -1.834[/math]
, è concava per [math]\small - 1.834 < x < -\frac{1}{2}\\[/math]
.In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f\\[/math]
èSECONDO STUDIO DI FUNZIONE
Data la funzione
[math]g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da[math]g(x) := \frac{x^4 - 16}{x}\,,\\[/math]
essa presenta insieme di definizione
[math]I_g := \left\{ x \in \mathbb{R} : x \ne 0 \right\} \; .\\[/math]
Dal momento che
[math]g(0) \Rightarrow \; \not\exists\,, \; \; \; g(x) = 0 \; \Leftrightarrow \; x = \pm 2\\[/math]
ne consegue che il grafico di
[math]g[/math]
interseca gli assi cartesiani nei punti [math]A(-2,\,0)[/math]
, [math]B(2,\,0)[/math]
, mentre per quanto riguarda il segno di [math]g[/math]
, dato che si ha
[math]g(x) > 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; -2 < x < 0 \, \vee \, x > 2\\[/math]
ne consegue che
[math]g[/math]
è negativa per [math]x < -2 \, \vee \, 0 < x < 2[/math]
, è positiva per
[math]-2 < x < 0 \, \vee \, x > 2\\[/math]
.Per quanto concerne lo studio di
[math]g\\[/math]
ai limiti del proprio dominio, si ha [math]\begin{aligned} & \lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\,, \; \; \lim_{x \to 0^-} g(x) = +\infty\,, \\ & \lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty\,, \; \; \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\,, \end{aligned}\\[/math]
da cui segue che
[math]g[/math]
presenta un asintoto verticale di equazione cartesiana [math]\small x = 0[/math]
, mentre non presenta asintoti orizzontali; può essere che [math]\small g[/math]
ammetta asintoti obliqui. In particolare, essendo
[math]\begin{aligned}
m_1 \overset{?}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{g(x)}{x} = +\infty\,, \; \; m_2 \overset{?}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = +\infty\end{aligned}\\[/math]
m_1 \overset{?}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{g(x)}{x} = +\infty\,, \; \; m_2 \overset{?}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = +\infty\end{aligned}\\[/math]
si deduce che
[math]g\\[/math]
non ammette nemmeno asintoti obliqui.È il momento quindi di studiare il segno di
[math]g'[/math]
in [math]I_g\\[/math]
:[math]g'(x) = \frac{3\,x^4 + 16}{x^2} \ge 0 \; \; \Rightarrow \; \; \forall\,x \in I_g\\[/math]
da cui segue che
[math]g[/math]
è crescente per [math]\forall\,x \in I_g\\[/math]
.Infine, per quanto concerne lo studio del segno di
[math]g''[/math]
in [math]I_g\\[/math]
:[math]g''(x) = \frac{2\left(3\,x^4-16\right)}{x^3} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; -\frac{2}{\sqrt[4]{3}} \le x < 0 \, \vee \, x \ge \frac{2}{\sqrt[4]{3}}\\[/math]
da cui segue che
[math]g[/math]
è concava per [math]x < -\frac{2}{\sqrt[4]{3}}[/math]
, presenta un punto di flesso [math]F_1[/math]
per [math]x = -\frac{2}{\sqrt[4]{3}}[/math]
, è convessa per [math]-\frac{2}{\sqrt[4]{3}} < x < 0[/math]
, è concava per [math]0 < x < \frac{2}{\sqrt[4]{3}}[/math]
, presenta un punto di flesso [math]F_2[/math]
per [math]x = \frac{2}{\sqrt[4]{3}}[/math]
, è convessa per
[math]x > \frac{2}{\sqrt[4]{3}}\\[/math]
.In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]g\\[/math]
èNota: essendo
[math]g(-x) = -g(x)[/math]
segue che [math]g[/math]
è una funzione dispari, ossia il cui grafico è simmetrico rispetto all'origine, quindi si sarebbe potuto studiare
[math]g[/math]
solamente per [math]x \ge 0\\[/math]
e determinare il resto per simmetria.TERZO STUDIO DI FUNZIONE
Data la funzione
[math]h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da[math]h(x) := \frac{x^2 - 1}{3\,x^2 + 2}\,,\\[/math]
essa presenta insieme di definizione
[math]I_h \equiv \mathbb{R} \; .\\[/math]
Dal momento che
[math]h(0) = -\frac{1}{2}\,, \; \; \; h(x) = 0 \; \Leftrightarrow \; x = \pm 1\\[/math]
ne consegue che il grafico di
[math]h[/math]
interseca gli assi cartesiani nei punti [math]A(-1,\,0)[/math]
, [math]B\left(0,\,-\frac{1}{2}\right)[/math]
, [math]C(1,\,0)[/math]
, mentre per quanto riguarda il segno di
[math]h\\[/math]
, dato che si ha [math]h(x) > 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x < -1 \, \vee \, x > 1\\[/math]
ne consegue che
[math]h[/math]
è positiva per [math]x < -1 \, \vee \, x > 1[/math]
, è negativa per [math]-1 < x < 1\\[/math]
.Per quanto concerne lo studio di
[math]h\\[/math]
ai limiti del proprio dominio, si ha [math]\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} h(x) = \frac{1}{3}\,, \; \; \; \; \lim_{x \to +\infty} h(x) = \frac{1}{3}\,, \end{aligned}\\[/math]
da cui segue che
[math]h[/math]
non presenta asintoti verticali e obliqui, bensì presenta un asintoto orizzontale di equazione cartesiana
[math]y = \frac{1}{3}\\[/math]
.È il momento quindi di studiare il segno di
[math]h'[/math]
in [math]I_h\\[/math]
:[math]h'(x) = \frac{10\,x}{\left(3\,x^2 + 2\right)^2} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x \ge 0\\[/math]
da cui segue che
[math]h[/math]
è decrescente per [math]x < 0[/math]
, presenta un minimo relativo per
[math]x = 0[/math]
(che in base allo studio dei limiti si deduce esse-re anche un minimo assoluto per
[math]h[/math]
), è crescente per [math]x>0\\[/math]
.Infine, per quanto concerne lo studio del segno di
[math]h''[/math]
in [math]I_h\\[/math]
:[math]h''(x) = \frac{20 - 90\,x^2}{\left(3\,x^2 + 2\right)^3} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; -\frac{\sqrt{2}}{3} \le x \le \frac{\sqrt{2}}{3}\\[/math]
da cui segue che
[math]h[/math]
è concava per [math]x < -\frac{\sqrt{2}}{3}[/math]
, presenta un punto di flesso
[math]F_1[/math]
per [math]x = -\frac{\sqrt{2}}{3}[/math]
, è convessa per [math]-\frac{\sqrt{2}}{3} < x < \frac{\sqrt{2}}{3}[/math]
, pre-senta un punto di flesso
[math]F_2[/math]
per [math]x = \frac{\sqrt{2}}{3}[/math]
, è concava per [math]x > \frac{\sqrt{2}}{3}\\[/math]
.In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]h\\[/math]
èNota: essendo
[math]h(-x) = h(x)[/math]
segue che [math]h[/math]
è una funzione pari, ossia il cui grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, quindi si sarebbe po-
tuto studiare
[math]h[/math]
solamente per [math]x \ge 0\\[/math]
e determinare il resto per simmetria.Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
Eccezionamente gentile! Grazie! Io fino allo studio del segno con i risultati mi trovo. Il problema è con l'asintoto orizzontale. Mi viene zero. Ma perché invece deve venire infinito?Altro problema è che ancora non mi sono studiata le derivate. GRAZIE
Aggiunto 2 minuti più tardi:
A no no ora mi viene infito. Scusi la domanda sciocca: infinito fratto due fa infinito?
Grazie mille per la disponibilità
Aggiunto 1 minuto più tardi:
Mi scuso tanto perché sbaglio a mettere i titoli ai post
Aggiunto 8 ore 22 minuti più tardi:
Perché nel terzo esercizio la funzione sta sptto L'asintoto?
Grazie mille
Aggiunto 2 minuti più tardi:
A no no ora mi viene infito. Scusi la domanda sciocca: infinito fratto due fa infinito?
Grazie mille per la disponibilità
Aggiunto 1 minuto più tardi:
Mi scuso tanto perché sbaglio a mettere i titoli ai post
Aggiunto 8 ore 22 minuti più tardi:
Perché nel terzo esercizio la funzione sta sptto L'asintoto?
Grazie mille
1. Ricorda che, in generale, si ha:
2. Nel terzo caso, il grafico di
toto
Spero sia più chiaro. :)
[math]\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{a\,x^n + b\,x^{n-1} +\dots + k}{a'\,x^m + b'\,x^{m-1} + \dots + k'} = \begin{cases} 0 & \text{se} \; n < m \\ \frac{a}{a'} & \text{se} \; n = m \\ \infty & \text{se} \; n > m \end{cases} \; .\end{aligned}\\[/math]
2. Nel terzo caso, il grafico di
[math]h[/math]
è posto al di sotto dell'asin-toto
[math]y = \frac{1}{3}[/math]
in quanto si ha [math]h(x) < \frac{1}{3} \; \Rightarrow \; \forall\,x \in \mathbb{R}\\[/math]
.Spero sia più chiaro. :)
Grazie mille
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