Studi di funzione(funzioni trigonometriche)

[ramarro1]

Buonasera, scusate il disturbo, vi scrivo perchè vorrei sapere cosa devo fare nel caso mi capitasse uno studio di funzione con una funzione trigonometrica....
Mi interessa sapere come si svolge lo studio del segno e l'insieme di definizioe...
se io ho $senx$
INSIEME DI DEFINIZIONE
$(-oo,+oo)$
STUDIO DEL SEGNO
$senx>=0$
se $x$ appartiene a $[-2pi,-pi]V[0,pi]$

$f(x)=tanx$
INSIEME DI DEFINIZIONE
$(-oo,+oo)-{(+)/(- ) kpi}$
STUDIO DEL SEGNO
$(x>=0+kpi)V(x<=0-kpi)$

$f(x)=arctanx$
INSIEME DI DEFINIZIONE
$(-oo,+oo)$
STUDIO DEL SEGNO
$x>=0$

sono giustifino qui? ve lo chiedo perchè non saprei neanche come si scrivono certe cose, so che $kpi$ è il periodo ma forse mi esprimo male.

Se io pero avessi una funzione come $f(x)=cos(x-1)$
come faccio a fare l'insime di definizione e lo studio del segno se ho $x-1$?
CIoè se dovessi fare lo studio del segno...come faccio a dire quando $x-1>=0$?
Grazie
Cordiali saluti

[mazzarri1]

ciao Ramarro
andiamo con ordine
1) funzione seno
la funzione è si definita per ogni x appartenente a R ma è PERIODICA!! quindi si limita sempre lo studio al suo solo periodo è più semplice. in particolare seno e coseno sono periodiche di periodo $2pi$ mentre la tangente lo è di periodo $pi$. per cui
insieme di definizione $[0,2pi]$
2) tangente
insieme di definizione $[0,pi]$
3) arcotangente
questa non è periodica... è l'inverso della tangente ... quindi il dominio è corretto tra + e- infinito stavolta

ti consiglio una veloce lettura di qualunque testo base di trigonometria, anche gratis su internet, per vedere i grafici di tutte le principali funzioni: seno, coseno, tangente, arcoseno, arcotangente, almeno queste... guarda i loro grafici e vedi da solo quali sono i domini e la positività

prova da solo poi a studiare la tua funzione $cos(x-1)$ con il solito metodo che sei abituato a tenere... il dominio sarà come ti dicevo tutto R ma siccome è periodica ne restringi lo studio all'intervallo $[0,2pi]$
per le funz periodiche un ppiccolo trucco... trova anche il valore di f per i principali angoli, cioè segnati sul foglio $f(0)$, $f(pi/2)$, $f(pi)$, $f(3 pi/2)$, $f(2 pi)$ e segna già sul grafico questi singoli punti ti aiuteranno a capire come si comporta la funzione... poi fai le derivate prima e seconda, discuti i segni, tutto come al solito insomma... provaci è molto semplice!!
ciaooo

[minomic]

"ramarro":Se io pero avessi una funzione come $f(x)=cos(x-1)$
come faccio a fare l'insime di definizione e lo studio del segno se ho $x-1$?
CIoè se dovessi fare lo studio del segno...

Ciao,
per il dominio ti devi chiedere quali valori puoi dare ad $x$. La risposta è "qualunque valore va bene", perché puoi sempre prendere un valore, sottrarre $1$ e calcolare il suo coseno. Invece il codominio sarà $[-1, 1]$ perché la funzione è comunque un coseno.
Per quanto riguarda lo studio del segno, se ti viene più facile puoi fare la sostituzione $z = x-1$ e quindi studiare il segno di $f(z) = cos z$. In particolare sai che è positivo per $0

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[ramarro1]

Ok grazie dell aiuto....vorrei chiedervi: mi potreste dare un paio di studi di funzione con funzioni trigonometriche per fav? Non troppo difficili però, perchè queste sono cose che forse non ci saranno neanche nello scritto e pertanto con queste funzioni sono alle prime armi.
Grazie
Cordiali saluti

[@melia]

Va bene qualcosa tipo
$f(x)=sinx - cosx$ oppure $f(x) = cos(2x) - cosx$

[ramarro1]

intanto' posto' lo studio di funzione fatto con $f(x)=cos(x-1)$
poi mi dite se èè giusto....fatto sta che vengomo di quei valori che non si sa bene quanto valgono...nei limiti per esempio $cos(-1)$ è fuori dall'insieme di definizione dato che si usa solo il campo $[0,2pi]$ quindi per quello penso che non ci sia niente da fare a parte escluderlo e basta...ok inizio
$f(x)=cos(x-1)$
INSIEME DI DEFINZIONE
$[0,2pi]$
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
$cosz=0$
$z=pi/2$,$z=3pi/2$.....cioè $x=pi/2+1$,$x=3pi/2+1$
STUDIO DEL SEGNO
$3pi/2+1<=x<=2pi+1$
LIMITI
$lim_(x->0)cos(0-1)=cos(-1)$questo mi sembra fuori dal dominio
$lim_(x->2pi)cos(2pi-1)=$....questo non riesco a sapere che valore sia
DERIVATA
$cos(x-1)=-sen(x-1)$
CRESCENZA O DECRESCENZA
$sen(x-1)<=0$
$3pi/2<=z<=2pi$
DERIVATA SECONDA
$cos(x-1)$
STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA SECONDA
$cos(x-1)$
$cosz>=0$
$0<=z<=pi/2V3pi/2<=z<=2pi$
$1<=x<=pi/2+1V3pi/2+1<=x<=2pi+1$
....be mi viene da dire che forsse queste cose non le abbiamo da fare, perchè escono delle cose strane rispetto agli altri studi di funzione, ora vi metto sotto quello che ha proposto Amelia, anche se onestamente non sono stato capace di farlo tutto ...e anche li vengono delle cose strane, non sono riuscito a fare lo studio del segno che è un passaggio fondamentale, mi sa che forse nelle verifiche non li assegnano neanche i prof...però per carita puo darsi ch esbagli

$f(x)=senx-cosx$
INSIEME DI DEFINIZIONE
$[0,2pi]$
STUDIO DEL SEGNO
$senx>=cosx$
qua non so cme fare per ricavare la $x$ io nel mio programma non ho mai fatto una disequazione trigonometricha, per tale motivo ho il sospetto che proprio le funzioni trigonometriche non ci siano...
LIMITI
$lim_(x->0)sen0-cos0=0-1=-1$
$lim_(x->2pi)sen(2pi)-cos(2pi)=0-1=-1$
DERIVATA
$cosx-(-senx)=cosx+senx$
CRESCENZA O DECRESCENZA
stesso problema di prima...non so come fare questa disequazione

[mazzarri1]

Ramarro,

attenzione a un "misunderstanding" di fondo:
se c'è scritto $f(x)=cos(x-1)$ quel numero $1$ che c'è dopo il segno "meno" è un angolo si ma espresso in RADIANTI!! come faccio a saperlo? se fosse 1 GRADO ci sarebbe scritto... se c'è scritto 1 e basta sono radianti... quindi per esempio
$f(30^0) =f(pi/6)=cos(pi/6 -1)=cos((3.14/6) - 1 rad)= cos(-0.47 rad) = 0.89$ circa... ok?

riguardo al primo studio:

1) quando parli dei "limiti" in realtà la funzione li in quei punti esiste quindi non sono proprio dei limiti... segui il consiglio, se vuoi, che ti ho dato sopra... trova il valore di $f(x)$ per i principali angoli al posto di fare il solito punto riguardante i limiti... a me ha sempre aiutato a capire il disegno questa cosa
$f(0)=cos(-1)$ che sarebbe il coseno di $-1$ RADIANTI!! cioè circa $0.54$
$f(pi/2)=cos(pi/2-1)=0.84$ circa
$f(pi)=cos(pi-1)=-0.54$ circa
$f(3 pi/2)=cos(3 pi/2 -1)=-0.84$ circa
attenzione a questi calcoli che ho fatto... per poter fare $pi-1$ devi considerare gli angoli in radianti cioè in pratica $pi-1=2.14159 rad$

tutto chiaro fin qui??

adesso trova tu gli zeri... $cos(x-1)=0$ quindi...

2)derivata prima
$f'(x)=-sin(x-1)$ che è uguale a zero per $x-1= k pi$ cioè per $x=1+k pi$ radianti! cioè per esempio $1 rad$ (circa 57 gradi), $pi+1=4.14 rad$ (circa 237 gradi) e ora devi vedere questi due punti a tangente orizzontale se sono massimi o minimi... il primo dovrebbe essere massimo e il secondo minimo ma fallo tu

dopo aver scovato la y del massimo e la y del minimo hai una importante informazione, la funzione sarà limitata tra quei due valori, (così come la funzione $y=cos(x)$ è limitata tra $+-1$... cioè esiste una fascia dell'asse y detta codominio dove la tua funzione esiste... devi dire qual è

3) derivata seconda
attenazione hai sbagliato il segno... inoltre
$f''(x)=-cos(x-1)$ che si annulla per $x-1=pi/2 + k pi$ cioè $x=1+pi/2 + k pi$ per esempio hai $x=1+pi/2=2.57 rad$ cioè circa 147 gradi) e $x=1+3 pi /2= 5.71 rad$ cioè circa 327 gradi... ora puoi parlare di concavità...

tutto chiaro??

per quel che riguarda il secondo studio di funzione noto che il problema principale è la equazione trigonometrica $sin(x)=cos(x)$... cercati in giro qualche esercizio di trigonometria non è roba difficile... in particolare qui devi vedere dove il seno eguaglia il coseno... se vuoi la possiamo vedere così, se il seno eguaglia il coseno allora la tangente fa 1 (perchè è il rapporto tra seno e coseno)... l'angolo la cui tangente è 1 è.. 45 gradi!! quindi $x=pi/4 +k pi$ aggiungendo la periodicità della tangente

è chiaro?? con queste considerazioni prova ora a riguardare tutto
ciao buona giornata!!

[ramarro1]

Ciao grazie, i tuoi ragionamenti con gli angoli in radianti, non li ho mai fatti, ne mai visti durante il corso, magari è proprio fuori dal programma, a ogno modo grazie ancora, vorrei farti un'altra domanda dove pero non ci sono conti da fare....apriro un thread dal nome...risolvere un sistema scritto in forma matriciale.