Strutture: prop. associativa
Ho fatto qualche esercizio sulle strutture algebriche (livello 1° sup) e mi è rimasto questo dubbio:
1) Sia data la tavola di una operazione; per verificare la prop. associativa $(a*b)*c=a*(b*c)$ è necessario verificarla per tutte le combianzioni di $a,b,c$?
2) Esiste un modo furbo per cercare un controesempio?
Grazie
1) Sia data la tavola di una operazione; per verificare la prop. associativa $(a*b)*c=a*(b*c)$ è necessario verificarla per tutte le combianzioni di $a,b,c$?
2) Esiste un modo furbo per cercare un controesempio?
Grazie
Risposte
1) Se dimostri che vale $\forall a,b,c$ basta quella che hai scritto, perché basta porre allora $a'=b, b'=c, c'=a$ e ritrovi $(b*c)*a=b*(c*a)
2) Non mi sembra ci sia un metodo particolare, anche perché generalmente se non vale allora non vale in 9 casi su 10 e funziona solo in poche eccezioni...
2) Non mi sembra ci sia un metodo particolare, anche perché generalmente se non vale allora non vale in 9 casi su 10 e funziona solo in poche eccezioni...
Grazie Nikilist
In questo caso il problema è dimostrarlo.
Esplicito:
se un esercizio mi propono di verificare la prop. associativa conoscendo la tabella dell'operazione in un insieme (facciamo di 5 elementi) si devono verificare, una per una, tutte le 125 combinazioni?
E' una palla
! per questo (dubitando che un esercizio potesse essere cosi palloso) mi sono chiesto se qualcosa mi stesse sfuggendo.
In questo caso il problema è dimostrarlo.
Esplicito:
se un esercizio mi propono di verificare la prop. associativa conoscendo la tabella dell'operazione in un insieme (facciamo di 5 elementi) si devono verificare, una per una, tutte le 125 combinazioni?
E' una palla
! per questo (dubitando che un esercizio potesse essere cosi palloso) mi sono chiesto se qualcosa mi stesse sfuggendo.
Però per potere fare quello che dice Nikilist dovresti (almeno credo) conoscere come viene definita in generale l'oprazione. Se l'operazione viene data sotto forma di tabella per un numero finito di elementi, non credo sia possibile produrre una dimostrazione generale.
"silente":
Grazie Nikilist
In questo caso il problema è dimostrarlo.
Esplicito:
se un esercizio mi propono di verificare la prop. associativa conoscendo la tabella dell'operazione in un insieme (facciamo di 5 elementi) si devono verificare, una per una, tutte le 125 combinazioni?
E' una palla
Infatti di solito non vengono dati esercizi del genere. O meglio, se vengono dati, l'operazione è descritta in termini abbastanza generali da farla apparire un'operazione "ragionevole" (come possono essere somma prodotto elevamento a potenza, ecc.).
Non è chiaro se tu abbia in effetti un esercizio che ti crea dei crucci. In tal caso postalo no?
Ciao gentili interlocutori. Mi scuso per il ritardo ma non avevo meco il libro per postare l’esercizio.
Io mi ponevo il problema in termini generali tuttavia il dubbio è nato nell’incontro con questo esercizio che (confesso) non avevo nemmeno tentato di risolvere provando le combinazioni, nella convinzione che esistesse una via diversa per la soluzione. Non avendo compreso un criterio generale (che mi pare di capire non esiste) ho supposto che l’es. non mi riusciva.
Eccolo (traggo da Oriolo-Coda: Algebra 1)
Considerate l'insieme $A= {a,b,c,d}$ e l'operazione rappresentata dalla figura.
Dite se la legge di composizione conferisce ad $A$ la struttura di gruppo.
Ciao
P.s. Se bisogna procedere per tentativi direi che davvero è palloso
P.s.2 Quando Martino m'ha detto di postarlo avrei scommesso che erano tutti controesempi.
Io mi ponevo il problema in termini generali tuttavia il dubbio è nato nell’incontro con questo esercizio che (confesso) non avevo nemmeno tentato di risolvere provando le combinazioni, nella convinzione che esistesse una via diversa per la soluzione. Non avendo compreso un criterio generale (che mi pare di capire non esiste) ho supposto che l’es. non mi riusciva.
Eccolo (traggo da Oriolo-Coda: Algebra 1)
Considerate l'insieme $A= {a,b,c,d}$ e l'operazione rappresentata dalla figura.
Dite se la legge di composizione conferisce ad $A$ la struttura di gruppo.
Ciao
P.s. Se bisogna procedere per tentativi direi che davvero è palloso
P.s.2 Quando Martino m'ha detto di postarlo avrei scommesso che erano tutti controesempi.
Beh, osserviamo l'esercizio da te proposto. Puoi osservare che l'operazione è commutativa, che ogni elemento è idempotente (ovvero $x^2=x$ per $x=a,b,c,d$) e che $a$ è un elemento neutro. Su questo non ci dovrebbe piovere.
Ne segue che le espressioni del tipo $x(yz)$ sono certamente uguali a $(xy)z$ se uno tra $x,y,z$ è uguale ad $a$. Quindi per verificare la proprietà associativa puoi escludere $a$ dalla verifica.
Inoltre un qualunque elemento moltiplicato per $d$ fa $d$, in ambo i sensi. Quindi non appena in una formula compare $d$, il risultato è $d$. Ne segue che puoi escludere anche $d$ dalla verifica (puoi pensare a $d$ come ad uno "zero").
Rimane solo da verificare (ricordando che l'operazione è commutativa) le seguenti:
$bc^2=(bc)c$
$b(bc)=b^2c$
$b(cb)=(bc)b$
$cb^2=(cb)b$
$c(bc)=(cb)c$
$c(cb)=c^2b$
e questo è facile dato che $b^2=b$, $c^2=c$ e $bc=cb=d$, ricordando che $d$ "annulla tutto".
Ottieni allora che {a,b,c,d} con l'operazione data è un monoide commutativo e non un gruppo - come $NN$ (sia con la somma che col prodotto), quindi non è così tanto bizzarro.
Comunque a parte questo, in questo caso l'esercizio è risolvibile in modo veloce: se {a,b,c,d} con l'operazione data fosse un gruppo allora $a$ sarebbe il suo elemento neutro, e quindi $d$, essendo invertibile, dovrebbe ammettere un inverso. Ma $d$ moltiplicato per qualunque cosa fa $d$, e quindi niente.
Ne segue che le espressioni del tipo $x(yz)$ sono certamente uguali a $(xy)z$ se uno tra $x,y,z$ è uguale ad $a$. Quindi per verificare la proprietà associativa puoi escludere $a$ dalla verifica.
Inoltre un qualunque elemento moltiplicato per $d$ fa $d$, in ambo i sensi. Quindi non appena in una formula compare $d$, il risultato è $d$. Ne segue che puoi escludere anche $d$ dalla verifica (puoi pensare a $d$ come ad uno "zero").
Rimane solo da verificare (ricordando che l'operazione è commutativa) le seguenti:
$bc^2=(bc)c$
$b(bc)=b^2c$
$b(cb)=(bc)b$
$cb^2=(cb)b$
$c(bc)=(cb)c$
$c(cb)=c^2b$
e questo è facile dato che $b^2=b$, $c^2=c$ e $bc=cb=d$, ricordando che $d$ "annulla tutto".
Ottieni allora che {a,b,c,d} con l'operazione data è un monoide commutativo e non un gruppo - come $NN$ (sia con la somma che col prodotto), quindi non è così tanto bizzarro.
Comunque a parte questo, in questo caso l'esercizio è risolvibile in modo veloce: se {a,b,c,d} con l'operazione data fosse un gruppo allora $a$ sarebbe il suo elemento neutro, e quindi $d$, essendo invertibile, dovrebbe ammettere un inverso. Ma $d$ moltiplicato per qualunque cosa fa $d$, e quindi niente.
Grazie Martino 
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