Spiegazione sui fasci di parabole
ciao ragazzi, questa settimana ho saltato 4 giorni di scuola perchè avevo la febbre e ho perso la spiegazione di matematica sui fasci di parabole. Ho provato a guardare la teoria sul mio libro ma ne parla poco e molto male e non ci ho capito molto... non è che per caso qualcuno potrebbe spiegarmele, con degli esercizi d'esempio o con delle formule? grazie per l'aiuto!
Risposte
nessuno riesce a darmi una mano?
La trattazione teorica è fatta sul tuo libro. Dubito che otterrai risposta se chiedi questo.
Se hai qualche dubbio specifico, possiamo provare a risolverlo.
Se hai qualche dubbio specifico, possiamo provare a risolverlo.
come ho già specificato la teoria sul mio libro e scarna e spiegata male, però dato che dalla mia richiesta sono passati 3 giorni ho capito qualcosa in più. qualcosa di specifico che non ho capito è la relazione tra il fascio di parabole e le rette.
ad esempio un esercizio in cui mi chiede di scrivere l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo a quello delle y, che è tengente alla retta di equezione y=x-1 nel suo punto di ordinata 1 e che passa per (0;4), come faccio a trovarla?
ad esempio un esercizio in cui mi chiede di scrivere l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo a quello delle y, che è tengente alla retta di equezione y=x-1 nel suo punto di ordinata 1 e che passa per (0;4), come faccio a trovarla?
I fasci di coniche sono degli strumenti, secondo me, molto interessanti e utili.
Il problema da te proposto si può spezzare come segue:
1) Trovare l'equazione del fascio passante per due punti: $T (2; 1)$ e $P (0; 4)$ - dove T è il punto di tangenza di ordinata 1 -
2) Determinare la parabola del fascio che è tangente alla retta $y = x - 1$
PUNTO 1:
Per costruire un fascio di parabole è sufficiente combinare linearmente due parabole (le generatrici del fascio); entrambe passanti per T e P, logico.
Per semplicità possiamo considerare due parabole degeneri ( $\alpha$: la coppia di rette passanti per P e T, parallele all'asse y; e $\beta$: la retta passante per i due punti).
$\alpha$: $(x - 0 )*(x - 2) = 0$
$\beta$: $y - 4 = m ( x - 0 )$ con $m = -3/2$
L'eq del fascio $\phi$ è: $(2y + 3x - 8) + k x ( x - 2 ) = 0$
$kx^2 + x(3 - 2k) + 2y - 8 = 0$
PUNTO 2:
Risolvi il sistema retta tangente / fascio:
$\{(kx^2 + x(3 - 2k) + 2y - 8 = 0),(y = x - 1):}$
E imponi $\Delta = 0$.
Determini così il k che sostituito nell'eq del fascio ti da la parabola cercata.
Il problema da te proposto si può spezzare come segue:
1) Trovare l'equazione del fascio passante per due punti: $T (2; 1)$ e $P (0; 4)$ - dove T è il punto di tangenza di ordinata 1 -
2) Determinare la parabola del fascio che è tangente alla retta $y = x - 1$
PUNTO 1:
Per costruire un fascio di parabole è sufficiente combinare linearmente due parabole (le generatrici del fascio); entrambe passanti per T e P, logico.
Per semplicità possiamo considerare due parabole degeneri ( $\alpha$: la coppia di rette passanti per P e T, parallele all'asse y; e $\beta$: la retta passante per i due punti).
$\alpha$: $(x - 0 )*(x - 2) = 0$
$\beta$: $y - 4 = m ( x - 0 )$ con $m = -3/2$
L'eq del fascio $\phi$ è: $(2y + 3x - 8) + k x ( x - 2 ) = 0$
$kx^2 + x(3 - 2k) + 2y - 8 = 0$
PUNTO 2:
Risolvi il sistema retta tangente / fascio:
$\{(kx^2 + x(3 - 2k) + 2y - 8 = 0),(y = x - 1):}$
E imponi $\Delta = 0$.
Determini così il k che sostituito nell'eq del fascio ti da la parabola cercata.
ok ho capito grazie, una cosa solo, quando prendi la prima retta nelle parabole degeneri perchè moltiplichi tra di loro le due equazioni e per esempio non le sommi?
"Traveler*":
ok ho capito grazie, una cosa solo, quando prendi la prima retta nelle parabole degeneri perchè moltiplichi tra di loro le due equazioni e per esempio non le sommi?
$alpha$ è in realtà un luogo formato dalla coppia delle due rette parallele all'asse delle ordinate e passanti per i punti base, in questo caso $x=0,x=2$ e quindi $x(x-2)$. Per curiosità che libro usi? Non capisco cosa intendi per sommare? Intendi la combinazione lineare?
come libro uso moduli di lineamenti di matematica, comunqe si non capisco perchè si moltiplicano x=0 e x=2 invece che sommarli come una combinazione lineare, c'è una cosa di teoria dietro che mi sfugge?
"Traveler*":
come libro uso moduli di lineamenti di matematica, comunqe si non capisco perchè si moltiplicano x=0 e x=2 invece che sommarli come una combinazione lineare, c'è una cosa di teoria dietro che mi sfugge?
Dammi un po' di tempo, provo a spiegare... provo... sarà una roba luuuunga
"Traveler*":
...
scrivere l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo a quello delle y, che è tengente alla retta di equezione y=x-1 nel suo punto di ordinata 1 e che passa per (0;4)
E' possibile risolvere il problema in questo modo:
le parabole tangenti alla retta $y=x-1$ nel punto $T(2 ; 1)$ hanno equazione
$y = a * (x - 2)^2 + 1 * (x-2) + 1$
a questo punto imponi la seconda condizione (passaggio per il punto $P(0 ; 4)$):
$4 = a * (0 - 2)^2 + (0-2) + 1$
da cui
$a = 5/4$
quindi la parabola ha equazione
$y = 5/4 * (x - 2)^2 + 1 * (x-2) + 1$
$y = 5/4*x^2 - 4*x + 4$ .
Prese due parabole $gamma:y=ax^2+bx+c$ (esplicitando $y-ax^2-bx-c$) e $gamma':y=a'x^2+b'x+c'$ (esplicitando $y-a'x^2-b'x-c'$) si crea il fascio di parabole mediante combinazione lineare:
$h_1(y-ax^2+bx+c)+h_2(y-a'x^2-b'x-c')=0$
$h_1$ e $h_2$ non possono essere contemporaneamente nulli quindi si pone $h_1!=0$ e si divide per $h_1$:
$y-ax^2-bx-c+(h_2)/(h_1)*(y-a'x^2-b'x-c')=0
Si pone $h_2/h_1=lambda$ quindi $y-ax^2-bx-c+lambda(y-a'x^2-b'x-c')=0 rArr y(lambda+1)=x^2(a+lambdaa')+x(b+lambdab')+c+lambdac'$. [1]
Posto $lambda!=-1$ l'equazione rappresenta sicuramente una parabola.
Ora osserviamo il comportamento del fascio mettendo a sistema le due generatrici.
${(y=ax^2+bx+c),(y=a'x^2+b'x+c'):} rArr 0=ax^2-a'x^2+bx-b'x+c-c' rArr x^2(a-a')+x(b-b')+c-c'=0$ (equazione di secondo grado)
1) $a!=a', Delta>0$ quindi l'equazione ammette due soluzioni distinte $x_1,x_2$ e la [1] rappresenta un fascio di parabole tutte secanti in due punti base di ascissa rispettivamente $x_1$ e $x_2$.
Sostituendo $lambda=-a/(a')$ alla [1] allora il fascio degenera in una retta passante per i detti punti base (asse radicale):
$y=(x(b-a/(a')*b')+c-a/(a')*c')/(-a/(a')+1)=(ba'-ab')/(a'-a)*x+(ca'-ac')/(a'-a).
Se sostituiamo $lambda=-1$ nella [1] allora riotteniamo $x^2(a-a')+x(b-b')+c-c'=0$ che essendo un trinomio di secondo grado si scompone in $(a-a')(x-x_1)(x-x_2)=0$ pertanto $x=x_1 vv x=x_2$ (coppia di rette parallele all'asse delle ordinate passanti per i detti punti base).
Da questo deduciamo che possiamo creare un fascio di parabole a partire dalle degeneri del fascio:
$y=mx+q+lambda(x-x_1)(x-x_2)$**
in cui $y=mx+q$ è l'asse radicale e $(x-x_1)(x-x_2)$ è il luogo delle due rette.
2) $a!=a', Delta=0$ quindi l'equazione ammette due soluzioni coincidenti $x_T$ e la [1] rappresenta un fascio di parabole tutte tangenti nel punto di ascissa $x_T$ a una retta.
Sostituendo $lambda=a/(a')$ alla [1] troviamo tale retta (asse radicale):
$y=(ba'-ab')/(a'-a)*x+(ca'-ac')/(a'-a)$.
Se poi sostituiamo $lambda=-1$ alla [1] troviamo $x^2(a-a')+x(b-b')+c-c'=0$ che avendo $Delta=0$ ammetterà due soluzioni coincidenti e quindi può essere scritta come: $(a-a')(x-x_T)^2=0$ quindi $x=x_T$ che è sempre il luogo formato dalla coppia delle due rette parallele all'asse delle ordinate passanti per l'unico punto base del fascio (le due rette vanno a coincidere).
Anche in questo caso le due coniche degeneri sono utili per determinare velocemente l'equazione di un fascio di parabole:
$y=mx+q+lambda(x-x_T)^2$.**
Ti risparmio e mi risparmio la trattazione dei casi rimanenti che ci interessano poco.
** Si dimostra che dato un fascio di curve, combinando linearmente due qualsiasi curve del fascio (per comodità le degeneri), si ottiene lo stesso fascio.
Esaminiamo per prima cosa i dati:
-parabola con asse parallello all'asse delle ordinate;
-tangente alla retta $y=x-1$ nel suo punto di ordinata 1 ($T(2;1)$);
-passa per (0;4).
La seconda condizione dice già tutto in quanto $y=x-1$ è la tangente del nostro fascio e T ne è il punto base: $y=x-1+lambda(x-2)^2$. Non ci resta che sfruttare l'ultima condizione:
per $(0;4)$: $4=-1+lambda(-2)^2 rArr lambda=5/4
Quindi $y=x-1+5/4(x-2)^2=5/4x^2-5x+x+5-1 rArr y=5/4x^2-4x+4.
$h_1(y-ax^2+bx+c)+h_2(y-a'x^2-b'x-c')=0$
$h_1$ e $h_2$ non possono essere contemporaneamente nulli quindi si pone $h_1!=0$ e si divide per $h_1$:
$y-ax^2-bx-c+(h_2)/(h_1)*(y-a'x^2-b'x-c')=0
Si pone $h_2/h_1=lambda$ quindi $y-ax^2-bx-c+lambda(y-a'x^2-b'x-c')=0 rArr y(lambda+1)=x^2(a+lambdaa')+x(b+lambdab')+c+lambdac'$. [1]
Posto $lambda!=-1$ l'equazione rappresenta sicuramente una parabola.
Ora osserviamo il comportamento del fascio mettendo a sistema le due generatrici.
${(y=ax^2+bx+c),(y=a'x^2+b'x+c'):} rArr 0=ax^2-a'x^2+bx-b'x+c-c' rArr x^2(a-a')+x(b-b')+c-c'=0$ (equazione di secondo grado)
1) $a!=a', Delta>0$ quindi l'equazione ammette due soluzioni distinte $x_1,x_2$ e la [1] rappresenta un fascio di parabole tutte secanti in due punti base di ascissa rispettivamente $x_1$ e $x_2$.
Sostituendo $lambda=-a/(a')$ alla [1] allora il fascio degenera in una retta passante per i detti punti base (asse radicale):
$y=(x(b-a/(a')*b')+c-a/(a')*c')/(-a/(a')+1)=(ba'-ab')/(a'-a)*x+(ca'-ac')/(a'-a).
Se sostituiamo $lambda=-1$ nella [1] allora riotteniamo $x^2(a-a')+x(b-b')+c-c'=0$ che essendo un trinomio di secondo grado si scompone in $(a-a')(x-x_1)(x-x_2)=0$ pertanto $x=x_1 vv x=x_2$ (coppia di rette parallele all'asse delle ordinate passanti per i detti punti base).
Da questo deduciamo che possiamo creare un fascio di parabole a partire dalle degeneri del fascio:
$y=mx+q+lambda(x-x_1)(x-x_2)$**
in cui $y=mx+q$ è l'asse radicale e $(x-x_1)(x-x_2)$ è il luogo delle due rette.
2) $a!=a', Delta=0$ quindi l'equazione ammette due soluzioni coincidenti $x_T$ e la [1] rappresenta un fascio di parabole tutte tangenti nel punto di ascissa $x_T$ a una retta.
Sostituendo $lambda=a/(a')$ alla [1] troviamo tale retta (asse radicale):
$y=(ba'-ab')/(a'-a)*x+(ca'-ac')/(a'-a)$.
Se poi sostituiamo $lambda=-1$ alla [1] troviamo $x^2(a-a')+x(b-b')+c-c'=0$ che avendo $Delta=0$ ammetterà due soluzioni coincidenti e quindi può essere scritta come: $(a-a')(x-x_T)^2=0$ quindi $x=x_T$ che è sempre il luogo formato dalla coppia delle due rette parallele all'asse delle ordinate passanti per l'unico punto base del fascio (le due rette vanno a coincidere).
Anche in questo caso le due coniche degeneri sono utili per determinare velocemente l'equazione di un fascio di parabole:
$y=mx+q+lambda(x-x_T)^2$.**
Ti risparmio e mi risparmio la trattazione dei casi rimanenti che ci interessano poco.
** Si dimostra che dato un fascio di curve, combinando linearmente due qualsiasi curve del fascio (per comodità le degeneri), si ottiene lo stesso fascio.
Scrivere l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle y, tangente alla retta di equazione $y=x-1$ nel suo punto di ordinata 1 e che passa per (0;4).
Esaminiamo per prima cosa i dati:
-parabola con asse parallello all'asse delle ordinate;
-tangente alla retta $y=x-1$ nel suo punto di ordinata 1 ($T(2;1)$);
-passa per (0;4).
La seconda condizione dice già tutto in quanto $y=x-1$ è la tangente del nostro fascio e T ne è il punto base: $y=x-1+lambda(x-2)^2$. Non ci resta che sfruttare l'ultima condizione:
per $(0;4)$: $4=-1+lambda(-2)^2 rArr lambda=5/4
Quindi $y=x-1+5/4(x-2)^2=5/4x^2-5x+x+5-1 rArr y=5/4x^2-4x+4.
grazie mille a tutti per l'aiuto, sopratutto a friction per l'ottima spiegazione, speriamo la verifica di domani mi vada bene!!!
Il problema può essere affrontato con gli strumenti della geometria proiettiva:
le parabole tangenti alla retta $y=x-1$ nel punto $T(2;1)$ hanno equazione
$y - x + 1 + lambda * (x-2)^2 = 0$
infatti basta considerare il fatto che la parabola è tangente alla retta impropria nel suo
punto all'infinito $(0;1;0)$ e alla retta $y-x+1=0$ in $T(2;1)$;
inoltre la retta che unisce i due punti di tangenza ha equazione $x-2=0$
(trattandosi di un fascio bitangente dobbiamo contare due volte la retta che
unisce i punti di tangenza).
Infine basta imporre il passaggio per il punto $(0;4)$ e trovare il valore del
parametro $lambda$ .
le parabole tangenti alla retta $y=x-1$ nel punto $T(2;1)$ hanno equazione
$y - x + 1 + lambda * (x-2)^2 = 0$
infatti basta considerare il fatto che la parabola è tangente alla retta impropria nel suo
punto all'infinito $(0;1;0)$ e alla retta $y-x+1=0$ in $T(2;1)$;
inoltre la retta che unisce i due punti di tangenza ha equazione $x-2=0$
(trattandosi di un fascio bitangente dobbiamo contare due volte la retta che
unisce i punti di tangenza).
Infine basta imporre il passaggio per il punto $(0;4)$ e trovare il valore del
parametro $lambda$ .
mi spiace se vi disturbo ancora, ma mi è venuto questo dubbio... se per caso il testo del problema fosse stato (invento il testo con dei punti casuali): "Scrivere l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle y, secante in due punti base di ascissa rispettivamente 3 e 5" allora avrei dovuto usare la formula $y=mx+q+λ(x-x1)(x-x2)$ ?
volevo dire una piccola cosa che non c'entra molto con l'argomento, comunque volevo ringraziare nuovamente friction perchè nella verifica di oggi c'era un esercizio uguale a quello che mi hai spiegato e l'ho fatto giusto, grazie per l'aiuto!
Di nulla. Piuttosto scusa se non ho risposto all'altra domanda ma grazie al genio che da noi ha deciso di dividere l'anno scolastico in un trimestre ed un pentamestre mi ritrovo le giornate un tantino stipate.
Comunque: "Scrivere l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle y, secante in due punti base di ascissa rispettivamente 3 e 5" non lo sbrogliamo perché manca l'equazione dell'ipotetica retta; altrimenti sarebbero sufficienti entrambe le coordinate dei punti in cui la retta interseca la parabola, il che ci offre uno spunto per risolvere un problema del tipo:"determinare l'equazione della parabola passante per $A(x_A,y_A)$ e $B(x_B,y_B)$ e una terza condizione", in cui la terza condizione può essere una roba del tipo:
Comunque: "Scrivere l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle y, secante in due punti base di ascissa rispettivamente 3 e 5" non lo sbrogliamo perché manca l'equazione dell'ipotetica retta; altrimenti sarebbero sufficienti entrambe le coordinate dei punti in cui la retta interseca la parabola, il che ci offre uno spunto per risolvere un problema del tipo:"determinare l'equazione della parabola passante per $A(x_A,y_A)$ e $B(x_B,y_B)$ e una terza condizione", in cui la terza condizione può essere una roba del tipo:
-tangente a una retta (sistema retta-fascio quindi $\Delta=0$)
-il cui vertice ha ascissa $x_V$ altrimenti avente asse di simmetria $x=x_V$ (sono equivalenti)$
-che forma con la retta di equazione $y=mx+q$ un segmento parabolico di area tot (teorema di archimede)
-passante per $C(x_C,y_C)$
-altro[/list:u:xi1veaq4]
A volte può essere comodo crearsi un fascio di parabole secanti la retta passante per $A$ e $B$ in tali punti per poi utilizzare la terza condizione, specialmente quando si è un cane nei calcoli come me
Sempre per restare in tema è utile notare anche che per "Determinare l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate avente vertice di coordinate $(x_V;y_V)$ e una terza condizione" è utile procedere nel modo seguente:
- 1. innanzitutto pensiamo la condizione del vertice in un altro modo, ossia pensiamo di voler trovare la parabola tangente alla retta $y=y_V$ nel punto $V(x_V;y_V)$, e procediamo creando il fascio che contiente tale parabola $y=y_V+\lambda(x-x_V)^2$ per poi imporre la terza condizione.
2. allo stesso risultato ci arriviamo pensando alla parabola da trovare come la traslata della generica parabola che ha vertice nell'origine e per asse l'asse delle ordinate: $y=ax^2$, quindi ci scriviamo la traslazione ${(x'=x+x_V),(y'=y+y_V):}$ che muta $O$ in $V$ e la applichiamo a $y=ax^2$ dunque: $y'-y_V=a(x'-x_V)^2 rArr y=y_V+a(x-x_V)^2$ ed infine imponiamo la terza condizione[/list:u:xi1veaq4]
Breve esempio esplicativo:
Si determini la parabola con asse parallelo all'asse delle ordinate di vertice $V(-2;3)$ e tangente alla retta $y=2x+3$.
Come sempre esaminiamo le condizioni:
- asse parallelo all'asse delle ordinate;
- coordinate del vertice;
- tangenza a una retta ma con punto di tangenza ignoto (!!).[/list:u:xi1veaq4]
Metodo 1
Creiamo il fascio di tutte le parabole tangenti a $y=3$ nel punto $(-2;3)$: $y=3+\lambda(x+2)^2$.
Ora mettiamo a sistema il fascio con la tangente: ${(y=2x+3),( y=3+\lambda(x+2)^2):}$ da cui $2x+3=3+\lambda(x+2)^2 rArr \lambda x^2+2x(2\lambda-1)+4\lambda=0 rArr \Delta/4=4\lambda^2+1-4\lambda-4\lambda^2=0 rArr \lambda=1/4$
$\gamma:y=3+1/4(x+2)^2$
Metodo 2*
Presa $y=ax^2$ scriviamo la traslazione che porta $O$ in $V$: ${(x'=x-2),(y'=y+3):}$ quindi $y-3=a(x+2)^2 rArr y=3+a(x+2)^2$ poi idem come sopra.
Sono stato volutamente prolisso perché se come me hai poca memoria non ti ricorderai mai la formuletta in sè ($y=y_V+\lambda(x-x_V)^2$) ma conoscendo il ragionamento che ti porta a ricavarla non avrai problemi. Spero di essere stato limpido
cia'*http://www.matematicamente.it/forum/equazione-della-parabola-passante-per-2-punti-e-tangente-a-r-t44444-10.html
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