Spiegazione procedimento di 3 problemi di geometria analitica?

vrijheid
Mi interesserebbe
capire il procedimento...Grazie in anticipo!

-"Determina l'equazione cartesiana del piano che fissa sugli assi
cartesiani tre segmenti uscenti dall'origine di lunghezza a,b,c"

-"Trovare l'intersezione del piano alfa:3x-y-7z+9=0 con il piano beta
descritto dall'asse x e dal punto K(3,2,-5)."

Poi per questo: "dare un'equazione parametrica della retta d'intersezione
dei piani alfa: r = (3,1,2)+u(1,0,0)+v(0,1,1) ;
beta: r = (4,2,0)+u(0,2,-1)+v(0,0,1)" , volevo eliminare i parametri u e v, solo che mi ritrovo, per la prima equazione, con 1 sola u e con 2 v....
come posso eliminare la u se non ne ho altre?

Grazie!

Risposte
bimbozza
Avevo appena finito di scrivere nel tuo post precedente quando l'hai cancellato... mi toccherà riscrivere tutto...

Allora, il primo, onestamente, non ricordo come si svolge ( è una vita che non faccio di questi esercizi).

Per il secondo ed il terzo posso darti una mano...

Iniziamo dal secondo

per prima cosa scriviamo beta:
l'asse x nello spazio si può scrivere come y=0 e z=0 quindi il fascio di piani contenente l'asse x è ay+bz=0.
Adesso inseriamo le coordinate del punto K: 2a-5b=0 da cui s=5b/2. Inseriamo ora a nel fascio di piani e semplifichiamo tutto per b , ottenendo quindi 5y+2z=0
Adesso basta mettere in sistema i due piani...
--------------------------------------------------------
visto che vuoi sapere solo come eliminare u e v ti accontento... basta passare dalla forma parametrica a quella cartesiana... vediamo come si fa con il piano alfa:

per prima cosa riscriviamo il piano come sistema

[math]\left{
x=3+u\\
y=1+v\\
z=2+v[/math]


adesso ricaviamo da un'equazione v, da un'altra u e mettiamo i risultati nella terza equazione
[math]\left{
u=x-3\\
v=y-1\\
z=2+y-1[/math]


la terza equazione ti dà il piano cercato cioè y-z+1=0

Aggiunto 15 minuti più tardi:

m'è venuto in mente un modo per fare il primo esercizio:
Determina l'equazione cartesiana del piano che fissa sugli assi
cartesiani tre segmenti uscenti dall'origine di lunghezza a,b,c.

Questo equivale alla condizione che il piano passi per i punti (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c).
L'equazione generica di un piano è mx+ny+oz+p=0. (generalmente si usano a,b,c,d come coefficienti, ma per non far confusione con le lettere dei punti ho preferito cambiare)
Scriviamo quindi il sistema formato dalle 3 equazioni che si hanno se inseriamo uno alla volta i tre punti nell'equazione soprastante, cioè:
[math]\left{
am+p=0\\
bn+p=0\\
co+p=0[/math]

da cui
[math]\left{
m=-p/a\\
n=-p/b\\
o=-p/c[/math]


quindi
[math]-px/a -py/b-pz/c+p=0[/math]
e dividendo tutto per p
[math]-x/a -y/b-z/c+1=0[/math]

vrijheid
Ok grazie mille per l'aiuto, dopo provo a risolverli!
Ho cancellato il post precedente perchè pensavo non l'avessi visto,
dato che era da un po' che l'avevo messo....

bimbozza
Vedere li vedo sempre tutti... il fatto è che a volte ho poco tempo e risolvo solo quelli veloci lasciando quelli dallo svolgimento più lungo per la sera...

vrijheid
Ah ok, va bene....
Se riuscirai poi a risolvere quel problema di ieri sera, dove hai detto che non
usciva nessuna soluzione, fammi poi sapere!

Grazie di tutto =)

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