Spiegazione passaggi integrale definito

[franchinho]

Salve, ho il seguente integrale: $ int_(-1)^(0) ln(1-x) dx $, e considerando la formula generale: $int_(a)^(b)f(x)dx=[intf(x)dx]_(a)^(b)=[F(x)]_(a)^(b)=F(b)-F(a)$, ho la seguente risoluzione: Primitiva di $ln(1-x)$: $F(x)=intln(1-x)dx$ =: integrale per sostituzione: poniamo $t=1-x$, otteniamo: $x=1-t$. $dt=-1dx$ e $dx=-1dt$ (sono le rispettive derivate??? Cioè le derivate di $x$ e di $t$??). Otteniamo: $intln(1-x)dx=-intln(t)dt$, e questo è il primo passaggio che non ho chiaro, cioè come si passa da: $intln(1-x)dx$ a $-intln(t)dt$. Poi proseguendo leggo: integrale noto: $intln(t)dt=t*ln(t)t$, cioè: $t-tln(t)$ (anche questo non chiaro), ed infine: sostituisco $t$ con $1-x$, e ottengo: $(1-x)*(ln(1-x)-1)$, ma non riesco a fare le sostituzioni, cioè a calcolare $F(0)$ e $F(-1)$. Il risultato dell'esercizio è il seguente: $ln(4)-1$.

[Studente Anonimo]

"Francobati":Salve, ho il seguente integrale: $ int_(-1)^(0) ln(1-x) dx $, e considerando la formula generale: $int_(a)^(b)f(x)dx=[intf(x)dx]_(a)^(b)=[F(x)]_(a)^(b)=F(b)-F(a)$, ho la seguente risoluzione: Primitiva di $ln(1-x)$: $F(x)=intln(1-x)dx$ =: integrale per sostituzione: poniamo $t=1-x$, otteniamo: $x=1-t$. $dt=-1dx$ e $dx=-1dt$ (sono le rispettive derivate??? Cioè le derivate di $x$ e di $t$??). Otteniamo: $intln(1-x)dx=-intln(t)dt$, e questo è il primo passaggio che non ho chiaro, cioè come si passa da: $intln(1-x)dx$ a $-intln(t)dt$. Poi proseguendo leggo: integrale noto: $intln(t)dt=t*ln(t)t$, cioè: $t-tln(t)$ (anche questo non chiaro), ed infine: sostituisco $t$ con $1-x$, e ottengo: $(1-x)*(ln(1-x)-1)$, ma non riesco a fare le sostituzioni, cioè a calcolare $F(0)$ e $F(-1)$. Il risultato dell'esercizio è il seguente: $ln(4)-1$.

Il tuo integrale $int_(-1)^(0)ln(1-x)dx$ perchè non lo risolvi per parti, considerando $int_(-1)^(0)1*ln(1-x)dx$, cioè $int_(-1)^(0)D(x)*ln(1-x)dx$?

[franchinho]

Per parti lo stavo risolvendo in questo modo: $intf(x)*g(x)dx=F(x)*g(x)-intF(x)*g^(')(x)$. Considerando: $f(x)=1$, segue: $F(x)=x$; considerando $g(x)=ln(1-x)$, segue: $g^(')(x)=(1)/(1-x)*-1=-1/(1-x)$.
Quindi: $x*(ln(1-x))-intx*(-1)/(1-x)dx=x*(ln(1-x))-int(-x)/(1-x)$, ma a questo punto mi sono bloccato, perché non so fare $int(-x)/(1-x)$.

[franchinho]

è un integrale fratto, devo fare la divisione? Ma come si fa?

[Zero87]

"Francobati":ma a questo punto mi sono bloccato, perché non so fare $int(-x)/(1-x)$.

Non mi viene altro che considerare
$(-x)/(1-x)=(-x+1-1)/(1-x)=(-x+1)/(1-x)-1/(1-x)=-1-1/(1-x)$
dividendo l'integrale in 2 parti - è un trucchetto che uso spesso con quelli fratti - dove diventano entrambe decisamente più semplici.