Spazio vettoriale-combinazione lineare
Ciao a tutti,
Stavo svolgendo questo esercizio, solo che non capisco a cosa serva conoscere la misura dei lati.
ABCD è un rettangolo con AB=5 e AD=8. Scrivi i vettori AE, AF, EB, EF, BE, DF come combinazione lineare di a=AB e b=AD.
Qualcuno mi potrebbe p.f. chiarire i dubbi?
Grazie!!
Stavo svolgendo questo esercizio, solo che non capisco a cosa serva conoscere la misura dei lati.
ABCD è un rettangolo con AB=5 e AD=8. Scrivi i vettori AE, AF, EB, EF, BE, DF come combinazione lineare di a=AB e b=AD.
Qualcuno mi potrebbe p.f. chiarire i dubbi?
Grazie!!
Risposte
Ciao Vanessalove!
spero di non dire cose errate
Le misure dei lati credo che servano perchè sono i MODULI dei tuoi due vettori $AB$ e $AD$ che io quindi scriverei, ponendo l'origine degli assi cartesiani nel punto A come
$vec (AB) = 5 vec (j)$
$vec (AD) = 8 vec (i)$
ora per la regola del parallelogramma hai che il vettore $vec (AC)$ è la somma di AB e AD quindi
$vec (AC) = 8 vec (i) + 5 vec (j)$
il suo modulo applicando pitagora è $AC=sqrt(89)$
Essendo il triangolo AFD rettangolo applicherei Euclide
$(AC)/(AD) = (AD)/(AF)$
da cui $AF=sqrt(89) (64)/(89)=64/89 AC$ e
$FC = sqrt(89) (25)/(89)=25/89 AC$
Ora di $vec(AF)$ conosci il modulo e la direzione (coincide con $vec (AC)$) e il verso... riesci a scriverlo?
Procederei allo stesso modo per gli altri vettori... tieni presente che per i vettori perpendicolari (tipo $vec(FD)$ e $vec(BE)$) per quanto riguarda la direzione applichi la condizione di perpendicolarità... due vettori sono perpendicolari se il loro prodotto interno è nullo
ciao!
spero di non dire cose errate
Le misure dei lati credo che servano perchè sono i MODULI dei tuoi due vettori $AB$ e $AD$ che io quindi scriverei, ponendo l'origine degli assi cartesiani nel punto A come
$vec (AB) = 5 vec (j)$
$vec (AD) = 8 vec (i)$
ora per la regola del parallelogramma hai che il vettore $vec (AC)$ è la somma di AB e AD quindi
$vec (AC) = 8 vec (i) + 5 vec (j)$
il suo modulo applicando pitagora è $AC=sqrt(89)$
Essendo il triangolo AFD rettangolo applicherei Euclide
$(AC)/(AD) = (AD)/(AF)$
da cui $AF=sqrt(89) (64)/(89)=64/89 AC$ e
$FC = sqrt(89) (25)/(89)=25/89 AC$
Ora di $vec(AF)$ conosci il modulo e la direzione (coincide con $vec (AC)$) e il verso... riesci a scriverlo?
Procederei allo stesso modo per gli altri vettori... tieni presente che per i vettori perpendicolari (tipo $vec(FD)$ e $vec(BE)$) per quanto riguarda la direzione applichi la condizione di perpendicolarità... due vettori sono perpendicolari se il loro prodotto interno è nullo
ciao!
Grazie Mille!
Provando a ricavare $vec (AF)$...
sappiamo che ha la stessa direzione di $vec (AC)$ quindi ci ricaviamo l'angolo, anzi la sua tangente, DAF che chiamiamo $alpha$...
abbiamo $tan alpha = 5/8$
e questa è la direzione del tuo vettore
Allora essendo $(x,y)$ le coordinate di F scriverei il sistema
${(y=x tan (5/8)), (x^2+y^2=(64)^2/89):}$
che risolto ti fornisce le soluzioni
${(x=8^3/89),(y=320/89):}$
da cui direi che abbiamo come conclusione
$vec(AF)=512/89 vec (i) + 320/89 vec (j)$
ma siccome il testo ti chiede solo di fornire la soluzione combinazione lineare di $vec a$ e $vec b$ lo scriveremo così
$vec(AF)=8 8^2/89 vec (i) + 5 8^2/89 vec (j)$
cioè
$vec(AF)= 64/89 (8 vec(i)+5 vec(j))$
che è esattamente ciò che ci aspettavamo... in pratica potevamo evitare tutti questi calcoli e ricavare AF già dal mio post precedente ma abbiamo verificato con un secondo procedimento che fosse tutto corretto... e poi un po' di calcoli non fanno male a abbiamo dato un procedimento alternativo...
potrebbe essere giusto? sicuramente qualcuno del forum potrà proporre una soluzione più snella ed elegante della mia...
ciao!!!
sappiamo che ha la stessa direzione di $vec (AC)$ quindi ci ricaviamo l'angolo, anzi la sua tangente, DAF che chiamiamo $alpha$...
abbiamo $tan alpha = 5/8$
e questa è la direzione del tuo vettore
Allora essendo $(x,y)$ le coordinate di F scriverei il sistema
${(y=x tan (5/8)), (x^2+y^2=(64)^2/89):}$
che risolto ti fornisce le soluzioni
${(x=8^3/89),(y=320/89):}$
da cui direi che abbiamo come conclusione
$vec(AF)=512/89 vec (i) + 320/89 vec (j)$
ma siccome il testo ti chiede solo di fornire la soluzione combinazione lineare di $vec a$ e $vec b$ lo scriveremo così
$vec(AF)=8 8^2/89 vec (i) + 5 8^2/89 vec (j)$
cioè
$vec(AF)= 64/89 (8 vec(i)+5 vec(j))$
che è esattamente ciò che ci aspettavamo... in pratica potevamo evitare tutti questi calcoli e ricavare AF già dal mio post precedente ma abbiamo verificato con un secondo procedimento che fosse tutto corretto... e poi un po' di calcoli non fanno male a abbiamo dato un procedimento alternativo...
potrebbe essere giusto? sicuramente qualcuno del forum potrà proporre una soluzione più snella ed elegante della mia...ciao!!!
Grazie ancora tantissimo!
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